Tensione, Deformazione e Legge di Hooke

Finora abbiamo chiesto alle strutture di resistere. Questa lezione chiede una cosa in più: di deformarsi poco.

Quando si carica un pilastro, un tirante o una trave, il materiale non è un blocco infinitamente rigido: si accorcia, si allunga, si inflette. Per descrivere questo comportamento servono tre grandezze e un legame tra di esse. La tensione dice quanto è sollecitato il materiale; la deformazione dice quanto cambia la sua lunghezza in rapporto a quella iniziale; la legge di Hooke collega le due attraverso il modulo di elasticità E.

Il caso di partenza è il più semplice possibile: un elemento sollecitato soltanto da sforzo normale, applicato nel baricentro della sezione. Lo studieremo su un esempio concreto: un pilastro in calcestruzzo di cui calcoleremo l’accorciamento.

La tensione è la forza che agisce su ogni unità di area della sezione.

Un pilastro porta un carico N. La forza non agisce in un punto: si trasmette attraverso tutta l’area A della sezione resistente. Più grande è la sezione, meno lavora ogni suo centimetro quadrato. La grandezza che misura questo effetto si chiama tensione e si indica con la lettera greca σ (sigma).

• N è lo sforzo normale, la forza perpendicolare alla sezione, misurata in kN (o in N)
• A è l’area della sezione resistente, misurata in m² (o in mm²)
• σ è la tensione normale. Nel nostro caso, di compressione: con la convenzione di G1 lo sforzo normale di compressione è negativo e quindi anche σ lo è. Per brevità, negli esercizi si calcola il modulo e si dichiara a parole “compressione”

Dimensionalmente la tensione è una forza diviso un’area. Con N in kN e A in m² si ottiene kN/m² = kPa (kilopascal).

Una sola grandezza, quattro modi di scriverla: serve padroneggiare le conversioni.

La scelta dell’unità è questione di comodità. Le tensioni da carico su area grande (terreni, solai, carichi distribuiti) vengono bene in kPa. Le tensioni da materiali strutturali (calcestruzzo, acciaio, legno) vengono bene in MPa, che coincide con N/mm²: se si lavora con N e mm² si ottiene direttamente MPa senza conversioni.

La formula σ = N/A vale quando N passa per il baricentro della sezione.

Il punto in cui la risultante N interseca la sezione si chiama centro di pressione. Se il centro di pressione coincide con il baricentro G (il punto studiato in E1), la sezione si comporta nel modo più semplice: ogni fibra viene compressa della stessa quantità e la tensione è uniforme. È il caso dello sforzo normale semplice, quello della ipotesi di Bernoulli-Navier richiamata in G2.

La deformazione misura quanto cambia la lunghezza di un elemento in rapporto alla lunghezza iniziale.

Un elemento di lunghezza iniziale l, sotto carico, si accorcia (compressione) o si allunga (trazione) di una quantità Δl. Per confrontare elementi di lunghezze diverse non basta Δl: si divide per la lunghezza iniziale e si ottiene la deformazione ε (epsilon).

• È un rapporto tra due lunghezze: si misura in m/m o mm/mm, quindi è un numero puro, adimensionale
• Valori piccolissimi: nei materiali strutturali in esercizio ε è dell’ordine di 10⁻⁴ o 10⁻⁵; per leggerli meglio si usa il per mille (‰), per esempio ε = 0,5‰ = 0,0005
• Segno: convenzionalmente l’allungamento è positivo e l’accorciamento negativo, in accordo con la convenzione di N (trazione +, compressione −). Come per σ, negli esercizi si calcola il modulo e si dichiara a parole se è accorciamento o allungamento

Se si carica un provino di materiale e si misura, a ogni passo di carico, la deformazione, si ottiene una curva: il diagramma σ-ε.

La prova è concettualmente semplice. Un provino viene compresso o teso in una macchina. Per ogni valore del carico N si calcola la tensione σ = N/A e, misurando la variazione di lunghezza Δl, la deformazione ε = Δl/l. Ogni coppia (ε, σ) è un punto del diagramma. Questo diagramma è la carta d’identità meccanica del materiale: lo avevi già incontrato in H1.

Per tutti i materiali strutturali il primo tratto del diagramma è rettilineo: tensione e deformazione crescono nella stessa proporzione. È in questo tratto che si colloca il comportamento in esercizio della struttura, ed è per questo tratto che vale la legge di Hooke.

Un materiale è elastico se, tolto il carico, ritorna alla forma e alla lunghezza iniziali.

Dopo che si è tolto il carico, la deformazione scompare del tutto: il pilastro riprende la sua altezza. Il comportamento è inoltre lineare quando la deformazione cresce in proporzione diretta con la tensione: raddoppiando il carico si raddoppia l’accorciamento.

Nel tratto elastico lineare la tensione è proporzionale alla deformazione: σ = E · ε.

La costante di proporzionalità si chiama modulo di elasticità normale o modulo di Young e si indica con la lettera maiuscola E. Nel diagramma σ-ε è la pendenza della retta: se α è l’angolo che la retta forma con l’asse delle ε, E = tg α.

Poiché ε è adimensionale, E ha le stesse unità di σ: in MPa (N/mm²) o in GPa. Un E grande significa che serve molta tensione per ottenere una piccola deformazione: il materiale è rigido. Un E piccolo indica un materiale che si deforma di più a parità di tensione.

Combinando le tre relazioni si ottiene una formula che dà direttamente l’accorciamento a partire dai dati dell’elemento.

Si parte da σ = N/A (tavola 02), da σ = E·ε (tavola 08) e da ε = Δl/l (tavola 05). Dalla legge di Hooke si ricava la deformazione e si sostituisce la tensione:

Moltiplicando per la lunghezza iniziale si ottiene l’accorciamento (o l’allungamento):

Il prodotto E·A si chiama rigidezza assiale dell’elemento: raccoglie la rigidezza del materiale (E) e quella della geometria (A).

• Δl è proporzionale a N e a l: raddoppiando il carico o la lunghezza, raddoppia l’accorciamento
• Δl è inversamente proporzionale a E e ad A: un materiale più rigido o una sezione più grande si accorciano meno
• Attenzione alle unità: conviene lavorare con N in newton, lunghezze in mm e E in MPa (N/mm²): il risultato esce direttamente in mm

Un pilastro in calcestruzzo, con sezione quadrata, è caricato da una forza assiale. Quanto si accorcia?

• Passo 1 — Area della sezione. A = 0,30 × 0,30 = 0,09 m² (= 90 000 mm²)
• Passo 2 — Tensione. σ = N / A = 50 / 0,09 = 555,6 kPa; dividendo per 1000, σ = 0,5556 MPa (compressione)
• Passo 3 — Deformazione. Per la legge di Hooke ε = σ / E = 0,5556 / 30 000 = 1,852 × 10⁻⁵ (circa 0,0185‰)
• Passo 4 — Accorciamento. Δl = ε · l = 1,852 × 10⁻⁵ × 5000 mm = 0,0926 mm ≈ 0,09 mm

Un numero ha senso solo se lo si sa leggere: confrontiamo l’esito con quello che ci aspettiamo e variamo i dati.

• La tensione è molto bassa. 0,56 MPa è una piccola frazione della resistenza di calcolo a compressione di un calcestruzzo C25/30, dell’ordine di 14 MPa (H4, valore indicativo): meno del 5%
• L’accorciamento è trascurabile. Meno di un decimo di millimetro su cinque metri: una parte su circa 54 000
• La tensione non dipende dall’altezza, mentre l’accorciamento sì: per questo i pilastri molto alti e i tiranti molto lunghi vanno controllati anche per le deformazioni

Quattro problemi per verificare la comprensione degli argomenti della lezione. Dati inventati a scopo didattico.

• La tensione normale è la forza per unità di area: σ = N / A, con N applicato nel baricentro (centro di pressione coincidente con G) e quindi uniforme sulla sezione
• Con N in kN e A in m², σ esce in kN/m² = kPa; 1000 kPa = 1 MPa = 1 N/mm²
• Se N non passa per il baricentro, alla forza si aggiunge un momento M = N·e e la tensione non è più uniforme (pressoflessione, G4)
• La deformazione è il rapporto tra due lunghezze: ε = Δl / l, adimensionale, piccolissima nei materiali strutturali
• Un materiale è elastico se, scaricato, torna alla lunghezza iniziale; nel tratto elastico lineare del diagramma σ-ε tensione e deformazione sono proporzionali
• La legge di Hooke è σ = E · ε; la costante E è il modulo di Young, pari alla pendenza della retta: E = tg α, con le stesse unità di σ (MPa)
• Combinando le relazioni si ottiene Δl = N · l / (E · A): l’accorciamento cresce con N e con l, diminuisce con E e con A
• Nell’esempio del pilastro (30 × 30 cm, h = 5 m, N = 50 kN, E = 30 000 MPa): σ = 0,556 MPa, ε = 1,85 × 10⁻⁵, Δl ≈ 0,09 mm
• Ordini di grandezza utili: E dell’acciaio circa 210 000 MPa, del calcestruzzo circa 30 000 MPa; i valori di calcolo si prendono dalle norme