La Flessione Retta e la Formula di Navier

Nella lezione G2 la formula di Navier è stata enunciata e applicata. Qui la ricaviamo.

Per ricavarla servono tre ingredienti, tutti già in mano: la geometria della deformazione (le sezioni restano piane, ipotesi di Bernoulli-Navier), la legge di Hooke σ = E·ε (lezione L1) e le equazioni di equilibrio della sezione, con i concetti di momento statico (E1) e momento d’inerzia (E2). La lezione procede così: prima descriviamo che cosa succede a una trave inflessa (curvatura, piano e asse di sollecitazione, verso di rotazione), poi fissiamo le ipotesi di validità, infine facciamo il calcolo.

Sotto l’azione di un momento flettente M l’asse della trave, prima rettilineo, si incurva.

Un tratto di trave di lunghezza dz si deforma come un arco di circonferenza. Il raggio di quella circonferenza è il raggio di curvatura ρ; il suo inverso 1/ρ è la curvatura: più il momento è grande, più la trave è incurvata e più ρ è piccolo. Le sezioni terminali del tratto non restano parallele: ruotano l’una rispetto all’altra di un angolo dφ.

• Curvatura = 1/ρ: ha dimensioni 1/lunghezza (per esempio 1/m o 1/mm); nelle travi correnti è piccolissima, e il raggio ρ è dell’ordine di decine o centinaia di metri
• Momento flettente M: è l’azione interna che produce la curvatura. Con la convenzione di G1 è positivo quando tende le fibre inferiori
• Legame tra le due grandezze: lo ricaveremo nelle tavole 09-10; qui conta l’idea qualitativa: a momento maggiore corrisponde curvatura maggiore

Due termini che descrivono dove agisce il momento flettente rispetto alla sezione.

Il piano di sollecitazione è il piano che contiene l’asse della trave e la direzione dei carichi che la inflettono. Taglia la sezione trasversale lungo una retta: è l’asse di sollecitazione, la traccia del piano di sollecitazione sul piano della sezione. Il vettore momento M è perpendicolare a questo piano, cioè perpendicolare all’asse di sollecitazione.

Si ha flessione retta quando l’asse di sollecitazione coincide con un asse principale d’inerzia della sezione.

Per una sezione simmetrica (rettangolo, doppio T, sezione a T, cerchio…) un asse principale è sempre l’asse di simmetria. Se il piano di sollecitazione contiene l’asse di simmetria, la trave si inflette nello stesso piano del carico: l’asse deformato è una curva piana, e per questo si dice “retta”. In questo caso l’asse neutro, cioè la retta della sezione in cui le fibre non cambiano lunghezza, è la retta baricentrica perpendicolare all’asse di sollecitazione.

Con un momento positivo la trave si incurva con la concavità verso l’alto: le fibre inferiori si allungano, le superiori si accorciano.

Guardiamo un piccolo tratto di trave, con l’asse z verso destra. Con la convenzione di G1, M è positivo se tende le fibre inferiori. La sezione di sinistra resta ferma di riferimento; la sezione di destra ruota rispetto ad essa: la parte alta si avvicina alla sezione di sinistra (le fibre superiori si accorciano) e la parte bassa se ne allontana (le fibre inferiori si allungano).

• M positivo: concavità verso l’alto, fibre inferiori tese e superiori compresse, la trave “sorride”
• M negativo: concavità verso il basso, fibre superiori tese e inferiori compresse (come nell’incastro di una mensola)
• I segni sono convenzioni: per capire che cosa accade nella trave guarda sempre quali fibre si allungano e quali si accorciano. In cantiere conta questo, non il segno

Le sezioni piane e ortogonali all’asse prima della deformazione restano piane e ortogonali all’asse deformato anche dopo la deformazione.

È l’ipotesi geometrica su cui poggia tutta la teoria tecnica della trave: ogni sezione si comporta come una lastra rigida che ruota attorno all’asse neutro. Da essa discende che l’allungamento di una fibra è proporzionale alla sua distanza dall’asse neutro.

Ma una trave reale è sollecitata anche dal taglio, e quando c’è taglio nascono le tensioni tangenziali τ (lezione G3). A queste corrispondono scorrimenti γ, diversi da fibra a fibra: la sezione smette di essere perfettamente piana e si ingobba.

Per passare dalle deformazioni alle tensioni serve la legge di Hooke: σ = E · ε (lezione L1).

Applicarla alla flessione richiede che il materiale sia, nel campo di tensioni considerato, elastico lineare. In pratica si assumono quattro condizioni:

• Comportamento elastico lineare: le tensioni restano nel tratto rettilineo del diagramma σ-ε. Oltre quel campo la distribuzione delle tensioni non è più lineare (tavole di H3 e H4 sul campo plastico)
• Materiale omogeneo e isotropo: uguali proprietà in ogni punto e in ogni direzione, come l’acciaio (H3). Nel legno (H2, anisotropo) e nel cemento armato (H4, eterogeneo) la formula richiede adattamenti
• Stesso modulo E a trazione e a compressione: è questa condizione a rendere il diagramma delle tensioni simmetrico rispetto all’asse neutro nelle sezioni simmetriche
• Piccole deformazioni: gli spostamenti sono piccoli rispetto alle dimensioni della trave, per cui la geometria si può studiare sulla configurazione indeformata

Sia la deformazione sia la tensione variano linearmente con la distanza dall’asse neutro.

• Asse neutro: ε = 0 e σ = 0; nella flessione retta passa per il baricentro (lo dimostreremo nella tavola 10)
• Lembi estremi: massima compressione al lembo superiore e massima trazione al lembo inferiore (per M positivo). Se la sezione è simmetrica, i due massimi sono uguali in modulo
• Coppia interna: le tensioni di compressione hanno risultante C e quelle di trazione risultante T, uguali e contrarie (N = 0): formano una coppia di braccio z, che equilibra M. È la stessa immagine usata in H4 per il cemento armato

Primo passo: esprimere analiticamente la curvatura e la deformazione di una fibra.

Consideriamo un tratto di trave lungo dz e, nella sezione, un elemento di superficie dA a distanza y dall’asse neutro (y positiva verso il basso, cioè verso le fibre tese per M positivo). Le due sezioni terminali ruotano l’una rispetto all’altra di dφ.

Dopo la deformazione la fibra a distanza y ha lunghezza (ρ + y)·dφ. Prima era lunga dz = ρ·dφ. L’allungamento è quindi (ρ + y)·dφ − ρ·dφ = y·dφ, e la deformazione:

Secondo passo: la legge di Hooke dà le tensioni; l’equilibrio della sezione dà il legame con M.

• Hooke. σ = E · ε = E · y / ρ. La tensione cresce linearmente con y
• Forza elementare. Su ogni elemento dA agisce la forza dF = σ · dA

La sezione deve essere in equilibrio sotto le forze elementari e l’azione interna M. Scriviamo le equazioni cardinali.

La curvatura è proporzionale al momento e inversamente proporzionale al prodotto E·I, la rigidezza flessionale della trave: a parità di momento si incurva meno una trave con materiale più rigido o con sezione di maggiore inerzia.

Sostituendo 1/ρ = M/(E·I) nella legge di Hooke si ottiene la formula cercata.

Il modulo E si semplifica: il risultato non dipende dal materiale.

• M: momento flettente nella sezione considerata (per esempio in N·mm)
• y: distanza del punto considerato dall’asse neutro baricentrico (in mm), positiva verso le fibre tese
• I: momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse neutro (in mm⁴)
• σ: tensione normale nel punto, in N/mm² = MPa; è di trazione dove y e M hanno lo stesso segno, di compressione altrove

Per la verifica interessa la tensione massima, ai lembi della sezione.

Con y = y_max (distanza del lembo più lontano dall’asse neutro) si ha σ_max = M · y_max / I. Il rapporto I / y_max dipende solo dalla geometria e si chiama modulo di resistenza a flessione W:

W si misura in unità di lunghezza al cubo (mm³, cm³, m³): è un momento d’inerzia (lunghezza⁴) diviso una lunghezza.

Sezioni non simmetriche rispetto all’asse neutro (per esempio la sezione a T) hanno due lembi a distanze diverse y_sup e y_inf, quindi due moduli di resistenza W_sup = I / y_sup e W_inf = I / y_inf, e due tensioni massime diverse. Per i profilati commerciali (IPE, HE, UPN) W si legge direttamente dalle tabelle.

Una trave in legno di sezione rettangolare è sollecitata da un momento flettente in una sezione. Calcoliamo tensioni, deformazioni e curvatura.

• Passo 1 — Geometria (in mm). I = b·h³/12 = 200 × 400³ / 12 ≈ 1,067 × 10⁹ mm⁴. W = b·h²/6 = 200 × 400² / 6 ≈ 5,333 × 10⁶ mm³ (= 5333 cm³)
• Passo 2 — Tensione massima. σ_max = M / W = 60 × 10⁶ N·mm / 5,333 × 10⁶ mm³ = 11,25 MPa (compressione al lembo superiore, trazione al lembo inferiore)
• Passo 3 — Tensione a y = 100 mm. σ = M·y/I = 60 × 10⁶ × 100 / 1,067 × 10⁹ = 5,625 MPa: metà della massima, perché y è metà di y_max = 200 mm
• Passo 4 — Deformazione massima. ε_max = σ_max / E = 11,25 / 11 000 ≈ 1,02 × 10⁻³ (circa 1,02‰)
• Passo 5 — Curvatura. 1/ρ = M/(E·I) = 60 × 10⁶ / (11 000 × 1,067 × 10⁹) ≈ 5,11 × 10⁻⁶ mm⁻¹, quindi ρ ≈ 196 m. Controllo: ε_max = y_max/ρ = 200 / 195 556 ≈ 1,02 × 10⁻³

Quattro problemi per verificare la comprensione degli argomenti della lezione. Dati inventati a scopo didattico.

• Sotto il momento flettente M l’asse della trave si incurva; la curvatura è 1/ρ e le sezioni adiacenti ruotano di dφ, con dz = ρ·dφ
• Il piano di sollecitazione contiene l’asse della trave e i carichi; la sua traccia sulla sezione è l’asse di sollecitazione, perpendicolare al vettore M
• La flessione retta si ha quando l’asse di sollecitazione coincide con un asse principale d’inerzia (per sezioni simmetriche, l’asse di simmetria); in caso contrario la flessione è deviata
• Con M positivo (fibre inferiori tese) la concavità è verso l’alto; la sezione destra ruota in senso antiorario rispetto alla sinistra
• Bernoulli-Navier: le sezioni piane restano piane e ortogonali all’asse; l’ingobbamento da taglio è trascurabile nelle travi con luce molto maggiore dell’altezza
• Hooke è valida per materiale elastico lineare, omogeneo e isotropo, con lo stesso E a trazione e a compressione e piccole deformazioni
• Deformazione e tensione sono lineari in y: ε = y/ρ e σ = E·y/ρ; nulle sull’asse neutro, massime ai lembi; le risultanti C e T formano la coppia interna
• L’equilibrio alla traslazione (N = 0) rende l’asse neutro baricentrico; l’equilibrio alla rotazione dà 1/ρ = M/(E·I); l’annullarsi del momento centrifugo richiede assi principali
• Formula di Navier: σ = M·y/I; il modulo di resistenza W = I/y_max dà σ_max = M/W; per il rettangolo W = b·h²/6