Equilibrio degli Elementi Articolati

Nella tavola F1 abbiamo studiato l’equilibrio di un elemento strutturale costituito da un unico corpo rigido: 3 gradi di libertà nel piano, azzerati da vincoli esterni (carrello, cerniera, incastro).

Molte strutture reali, però, non sono un unico corpo rigido: sono un sistema di più corpi rigidi, collegati tra loro non solo al suolo ma anche l’uno con l’altro. Il collegamento tra le parti — il vincolo interno — non annulla del tutto la libertà di movimento relativo tra i corpi, ma la limita. Un elemento strutturale così composto si dice articolato. In questa tavola vediamo come si contano i suoi gradi di libertà e come si calcolano le sue reazioni, esterne e interne.

Il vincolo interno più comune è la cerniera interna (o snodo): collega due o più corpi rigidi permettendo la rotazione relativa tra loro, ma impedendo lo spostamento relativo — esattamente come la cerniera esterna impedisce lo spostamento rispetto al suolo, lasciando libera la rotazione.

Un elemento strutturale piano formato da n corpi rigidi scollegati avrebbe 3·n gradi di libertà (3 per ciascun corpo, come visto in F1). Le cerniere interne che li collegano ne sottraggono una parte. Il numero di gradi di libertà residui vale quindi:

dove la sommatoria è estesa a tutte le cerniere interne presenti nell’elemento, e r è il numero di corpi che ciascuna cerniera collega di volta in volta.

La formula si applica contando i corpi rigidi e, per ciascuna cerniera interna, quanti corpi collega.

Si noti che una cerniera interna semplice (r = 2, la più comune) sottrae sempre e soltanto 2 gradi di libertà, qualunque sia il numero totale di corpi dell’elemento.

Un elemento articolato con N_L gradi di libertà maggiori di 3 richiede, per essere isostatico, un grado di vincolo esterno complessivo maggiore di 3 — e qui sta la differenza sostanziale rispetto al corpo rigido singolo.

Le tre equazioni cardinali della statica (tavola F1-09), scritte sull’intero elemento, non bastano più da sole: le incognite (le reazioni esterne) sono più di tre. Occorre allora imporre l’equilibrio non solo dell’elemento nel suo insieme (equilibrio esterno), ma anche di ciascun corpo rigido che lo compone, preso singolarmente (equilibrio interno): tanti sistemi di equilibrio quanti sono i corpi rigidi, sufficienti a determinare tutte le reazioni, esterne e interne.

È il metodo più diretto, tanto più conveniente quanto maggiore è il numero di cerniere interne: si sopprimono tutti i vincoli, esterni e interni, e si impone l’equilibrio di ciascun corpo rigido, uno alla volta, in una successione che parte da dove le incognite sono meno numerose.

Questo metodo determina direttamente le sole reazioni esterne, lasciando indeterminate — se non richieste — le reazioni delle cerniere interne, che si possono comunque calcolare in un secondo momento.

Si scrivono le tre equazioni cardinali sull’intero elemento (equilibrio esterno) e si aggiunge, per ciascuna cerniera interna, un’equazione ausiliaria: il momento, rispetto alla cerniera stessa, delle sole forze che agiscono da una parte di essa (quelle “che precedono” o “che seguono” la cerniera) dev’essere nullo, perché la reazione della cerniera ha braccio nullo rispetto a se stessa.

L’arco a tre cerniere è una struttura articolata isostatica ad asse curvilineo: due cerniere esterne alle imposte (A e B) e una cerniera interna in chiave (C), nel punto più alto dell’arco.

La forma dell’arco — circolare a tutto sesto, a sesto ribassato o acuto, parabolico, policentrico — non influisce sul calcolo delle reazioni, che dipende soltanto dai carichi, dalla luce l (la distanza tra le imposte) e dalla freccia f (la quota della cerniera in chiave rispetto alla linea delle imposte).

Per un arco simmetrico, con due cerniere esterne a carrello/cerniera e carico verticale uniformemente distribuito q, la simmetria fornisce subito le reazioni verticali; l’equazione ausiliaria in chiave fornisce quelle orizzontali (la cosiddetta spinta dell’arco).

Se l’arco è semicircolare (f = l/2 = R, con R raggio), sostituendo si ottiene la forma più semplice:

Le travi Gerber — dal nome dell’ingegnere tedesco Heinrich Gerber — sono elementi articolati isostatici ad asse rettilineo, spesso usate per coprire più campate con appoggi intermedi.

Quando le cerniere interne sono più di una, il metodo della risoluzione in serie è senz’altro il più conveniente: sopprimendo le cerniere, la trave si divide in tratti rigidi che si risolvono in successione, spesso partendo da quello centrale se simmetrico, per poi trasferire le reazioni — con verso opposto — ai tratti laterali.

Si definisce elemento reticolare un insieme indeformabile di aste rettilinee, collegate tra loro da cerniere interne in punti detti nodi. Un elemento reticolare indeformabile si comporta, nel suo complesso, come un unico corpo rigido: ha gli stessi 3 gradi di libertà.

Lo studio degli elementi reticolari isostatici piani si basa su due ipotesi semplificative, che riducono ogni asta a una biella — un’asta scarica lungo la sua lunghezza, soggetta solo alle forze applicate ai suoi due estremi:

• Nodi come cerniere perfette: ogni asta è libera di ruotare attorno al nodo che la collega alle altre
• Carichi solo nei nodi: tutte le forze esterne, attive e reattive, sono applicate esclusivamente nei nodi, mai lungo lo sviluppo delle aste

Per collegare rigidamente i primi 3 nodi di un elemento reticolare bastano 3 aste (un triangolo, la figura rigida elementare); ogni nodo aggiuntivo, per restare rigidamente collegato, richiede almeno 2 aste in più. Il numero minimo di aste a per collegare rigidamente n nodi vale quindi:

Separando idealmente un’asta dal resto della trave reticolare, essa risulta soggetta a due forze uguali e contrarie, dirette lungo il proprio asse: lo sforzo dell’asta.

Riferendosi al nodo — non all’asta isolata — si distingue: un’asta è compressa (un puntone) quando lo sforzo che trasmette entra nel nodo; è tesa (un tirante) quando lo sforzo esce dal nodo. Per convenzione, si attribuisce segno positivo agli sforzi di trazione e segno negativo agli sforzi di compressione.

Il modo più diretto per calcolare gli sforzi nelle aste è imporre, nodo per nodo, l’equilibrio del sistema di forze concorrenti in quel nodo (sforzi delle aste convergenti, più eventuali carichi esterni).

In ogni nodo l’equilibrio alla rotazione è automaticamente soddisfatto, perché tutte le forze applicate sono concorrenti nel nodo stesso: restano solo le due equazioni di equilibrio alla traslazione.

Quando serve lo sforzo di una sola asta, senza risolvere l’intero reticolare, conviene il metodo delle sezioni: si taglia idealmente la struttura con una sezione di Ritter, che interseca contemporaneamente l’asta cercata e altre due aste non concorrenti tra loro.

Sostituite le tre aste tagliate con gli sforzi che trasmettono, ciascuna delle due parti in cui la struttura resta divisa deve essere in equilibrio. Si definisce polo di un’asta il punto d’incontro tra le altre due aste tagliate dalla sezione: imponendo l’equilibrio alla rotazione di una delle due parti rispetto al polo di un’asta, le altre due aste — passando per quel punto — hanno momento nullo e scompaiono dall’equazione, lasciando la sola incognita cercata.

Accanto ai metodi analitici, gli sforzi delle aste si possono determinare anche per via grafica, chiudendo il poligono delle forze concorrenti in ciascun nodo — lo stesso principio già visto per le reazioni vincolari nella tavola F1-12.

Sovrapponendo, nodo dopo nodo, tutti i poligoni di equilibrio in un’unica figura (facendo coincidere i lati comuni alle aste condivise tra nodi adiacenti), si ottiene un’unica costruzione grafica — il diagramma cremoniano, dal nome del matematico Luigi Cremona — che fornisce in un solo disegno il modulo e il segno di tutti gli sforzi del reticolare: un metodo elegante, oggi soprattutto didattico, che rende visivamente immediato l’equilibrio dell’intera struttura.

• Un elemento articolato è un sistema di più corpi rigidi collegati da vincoli interni, tipicamente cerniere interne
• Una cerniera interna che collega r corpi sottrae 2(r−1) gradi di libertà; i gradi di libertà totali valgono N_L = 3n − Σ2(r−1)
• Per un elemento articolato isostatico serve sia l’equilibrio esterno (l’intero elemento) sia l’equilibrio interno (ogni singolo corpo rigido)
• Le reazioni si calcolano con il metodo della risoluzione in serie (trova anche le reazioni interne) o il metodo delle equazioni ausiliarie (una equazione di momento nullo per ogni cerniera interna)
• L’arco a tre cerniere è isostatico grazie alla cerniera in chiave; le sue reazioni dipendono da carichi, luce l e freccia f, e includono una spinta orizzontale
• Le travi Gerber sono elementi articolati ad asse rettilineo su più appoggi, risolte per successione di tratti rigidi
• Un elemento reticolare è un insieme indeformabile di aste-biella collegate da cerniere nei nodi; per n nodi occorrono almeno a = 2n−3 aste, disposte in modo efficace (generazione triangolare)
• Un’asta è un puntone se compressa (sforzo entrante nel nodo), un tirante se tesa (sforzo uscente); convenzione: positivo in trazione, negativo in compressione
• Gli sforzi delle aste si calcolano con il metodo dell’equilibrio dei nodi, il metodo delle sezioni (Ritter) per una singola asta, o per via grafica con il diagramma cremoniano