Sollecitazioni e Azioni Interne

Nelle tavole F1 e F2 abbiamo imparato a calcolare le reazioni vincolari: le forze che i vincoli, esterni e interni, esercitano su un elemento strutturale in equilibrio.

Conoscere le reazioni non basta però a progettare l’elemento: bisogna sapere anche cosa succede al suo interno, sezione per sezione, sotto l’effetto combinato dei carichi applicati e delle reazioni stesse. È l’oggetto di questa tavola: le sollecitazioni o azioni interne, il primo passo indispensabile verso il dimensionamento delle sezioni resistenti, che affronteremo nelle prossime unità.

Per “vedere” l’interno di una trave si immagina di tagliarla idealmente con una sezione trasversale S, in un punto qualsiasi del suo sviluppo, dividendola in due parti: quella a sinistra della sezione e quella a destra.

Prima del taglio, ciascuna delle due parti era in equilibrio grazie anche alle forze che l’altra parte le trasmetteva attraverso la sezione. Tagliata idealmente la trave, per mantenere l’equilibrio di ciascuna parte occorre allora sostituire l’azione della parte soppressa con un sistema di forze equivalente, applicato nel baricentro della sezione: sono proprio queste forze — uguali e contrarie sulle due facce della sezione, per il principio di azione e reazione — le azioni interne.

Nel caso più generale, il sistema di forze che le due parti si scambiano attraverso una sezione piana si scompone in tre componenti significative, riferite alla sezione stessa:

Per confrontare e sommare le azioni interne serve una convenzione di segno condivisa, coerente con quella già usata per puntoni e tiranti nella tavola F2.

Il momento flettente si giudica dal suo effetto sulle fibre dell’elemento: quali fibre tende, quali comprime.

Il valore delle azioni interne in una sezione di ascissa z si calcola imponendo l’equilibrio di una sola delle due parti in cui la sezione divide l’elemento — quella che coinvolge meno forze, di solito.

Indicando con Σ_p la somma delle forze che precedono la sezione (la parte a sinistra) e con Σ_s la somma di quelle che la seguono (la parte a destra), le azioni interne in una sezione valgono, equivalentemente:

La forma del diagramma di N, V e M in un tratto dipende dal tipo di carico presente in quel tratto: tra taglio e carico distribuito, e tra momento e taglio, esistono relazioni dirette.

Il modo più efficace per rappresentare N, V e M lungo tutto l’elemento è il diagramma: un grafico che riporta, in scala e tratto per tratto, il valore dell’azione interna in funzione dell’ascissa z.

Si calcolano i valori dell’azione interna alle sezioni significative di ogni tratto (gli estremi, i punti di applicazione dei carichi, le sezioni di vincolo) e li si riporta perpendicolarmente all’asse, con una convenzione grafica fissa per tutta la trave — ad esempio i valori positivi sempre riportati verso l’alto. Congiungendo i punti secondo l’andamento previsto dalla tavola 07 (rette per carichi nulli o costanti, parabole per carichi distribuiti) si ottiene il diagramma completo.

Alcune regole generali, valide per qualunque elemento inflesso, aiutano a controllare la correttezza di un diagramma.

Il diagramma del taglio presenta una discontinuità — un salto verticale — in ogni sezione dove è applicato un carico concentrato P (comprese le sezioni di vincolo, dove agiscono le reazioni): il taglio passa bruscamente da un valore V_s nel tratto di sinistra a un valore V_d nel tratto di destra, con:

Allo stesso modo, il diagramma del momento flettente presenta una discontinuità nelle sezioni dove è applicato un momento concentrato (tipicamente le sezioni di incastro), con |M_s| + |M_d| pari al momento applicato.

Per una mensola (trave a sbalzo, incastrata a un estremo e libera all’altro) soggetta a carichi verticali rivolti verso il basso, valgono alcune regole ricorrenti:

• Taglio V e momento M sono entrambi massimi in valore assoluto nella sezione di incastro
• Il momento M è sempre negativo: sono tese le fibre superiori, coerentemente con la convenzione della tavola 05
• Con un solo carico concentrato P all’estremo libero, a distanza l dall’incastro: V è costante e pari a P su tutta la mensola, M cresce linearmente da 0 (estremo libero) a −Pl (incastro)

Per una trave semplicemente appoggiata (cerniera e carrello agli estremi) soggetta a carichi verticali rivolti verso il basso, valgono regole altrettanto ricorrenti:

• Il taglio V è massimo in valore assoluto sugli appoggi
• Il momento M è massimo in campata, non agli appoggi
• Il momento M è sempre positivo: sono tese le fibre inferiori
• Con un carico distribuito uniforme q su tutta la luce l: il taglio è lineare (da +ql/2 a −ql/2), il momento è parabolico, massimo in mezzeria con valore ql²/8

Una trave AB, appoggiata agli estremi (luce 4l), riceve tre carichi concentrati P uguali, applicati simmetricamente nei punti C, D, E a distanza l l’uno dall’altro. Per simmetria, le reazioni valgono subito Y_A = Y_B = 3P/2. In assenza di forze parallele all’asse, lo sforzo normale è nullo su tutta la trave.

Facendo coincidere l’origine dell’ascissa z con l’inizio di ciascun tratto:

Una trave CD, appoggiata in A e B (a 1,20 m dagli estremi C e D), riceve un carico distribuito di 4 kN/m sugli sbalzi CA e BD e di 2 kN/m nella campata centrale AB. Per simmetria: Y_A = Y_B = 8,80 kN.

Nel tratto CA (sbalzo), il taglio cresce linearmente da 0 a −4,80 kN, il momento decresce parabolicamente da 0 a −2,88 kN·m. Nel tratto AB, il taglio passa da +4 kN in A a −4 kN in B: si annulla in mezzeria (z₀ = 2,00 m), dove il momento raggiunge il suo massimo relativo.

Una trave Gerber DABC (vedi tavola F2-10), con cerniera esterna in A, cerniera interna in C e incastro in B, riceve un carico distribuito di 1,5 kN/m sullo sbalzo DA e una reazione Y_A = 6,25 kN trasmessa dall’appoggio.

Nel tratto DA (sbalzo), taglio e momento crescono in modulo dall’estremo libero D (entrambi nulli) fino ad A. Nel tratto AC, il taglio passa da +3,25 kN a −1,25 kN, annullandosi in z₀ = 2,17 m, dove il momento raggiunge un massimo relativo di −0,52 kN·m. Nel tratto BC, calcolato conviene partire da destra (Σ_s): il momento cresce da −2,5 kN·m in B a 0 in C.

Negli elementi ad asse spezzato (che cambiano direzione, come i telai) si considerano gli spigoli come sezioni significative, facendo sempre coincidere l’ascissa z con l’asse strutturale locale di ciascun tratto: la convenzione dei segni non cambia, come se si “raddrizzasse” idealmente l’elemento tratto per tratto.

Una mensola ad asse spezzato ABC, incastrata in A, con un carico orizzontale P applicato in B: nel tratto verticale BC lo sforzo normale è nullo e il taglio vale +P; nel tratto orizzontale CA lo sforzo normale vale +P (il tratto BC “scarica” il suo taglio come sforzo normale nel tratto CA) e il momento resta costante e pari a −Pa (a = lunghezza del tratto BC).

Un pilastro verticale con carico concentrato N = 400 kN in sommità è soggetto a solo sforzo normale di compressione, costante se si trascura il peso proprio (N = −400 kN) o linearmente variabile se lo si considera (ad esempio, con peso proprio 10 kN/m: da −400 kN in sommità a −430 kN al piede, su un’altezza di 3,00 m). Se al pilastro si aggiunge anche un carico distribuito perpendicolare all’asse (ad esempio il vento, 10 kN/m), compaiono anche taglio (lineare) e momento flettente (parabolico), con valore massimo alla base.

Quando il piano dei carichi non contiene l’asse dell’elemento, compare anche il momento torcente M_t, che fa ruotare la sezione attorno al proprio asse — la quarta azione interna anticipata nella tavola 03.

Per una trave con vincoli di estremità capaci di opporsi alla rotazione attorno all’asse (ritegni antitorsionali), soggetta a un momento torcente distribuito uniforme m_t su tutta la luce l, ciascun vincolo reagisce con una coppia torcente concentrata pari a m_t·l/2. Il diagramma di M_t si costruisce con la stessa logica del diagramma del taglio di una trave appoggiata con carico uniformemente distribuito: lineare, da un valore massimo a un estremo al valore opposto all’altro, annullandosi in mezzeria.

Gli esercizi che seguono applicano il calcolo delle azioni interne agli elementi articolati della tavola F2 — telai, travi Gerber, portali — mettendo alla prova insieme le due tavole.

• Le azioni interne (sollecitazioni) sono le forze che le due parti di un elemento, tagliato idealmente da una sezione, si scambiano attraverso di essa: sforzo normale N, taglio V, momento flettente M (e, quando i carichi non sono complanari con l’asse, momento torcente M_t)
• Convenzione dei segni: N positivo in trazione; V positivo se le facce ruotano l’elementino in senso orario; M positivo se tende le fibre inferiori
• Il valore delle azioni interne si calcola imponendo l’equilibrio della parte a sinistra (Σ_p) o a destra (Σ_s) della sezione
• L’andamento dipende dal carico presente: nessun carico → N, V costanti e M lineare; carico distribuito costante → V lineare e M parabolico; vale sempre dM/dz = V
• Il taglio è discontinuo nelle sezioni di carico concentrato (|V_s|+|V_d|=P); il momento è discontinuo nelle sezioni di momento concentrato o incastro
• Negli elementi simmetrici il momento è simmetrico, il taglio è parasimmetrico
• Mensola: V e M massimi all’incastro, M sempre negativo (fibre superiori tese). Trave appoggiata: V massimo sugli appoggi, M massimo in campata, M sempre positivo (fibre inferiori tese)
• Il momento flettente è sempre nullo nelle cerniere interne: un’utile verifica quando si calcolano le sollecitazioni negli elementi articolati della tavola F2