Le Travi Reticolari

Una trave reticolare è un insieme di aste rettilinee collegate alle estremità in punti chiamati nodi, disposte in modo da formare una maglia di triangoli. Se i carichi arrivano solo nei nodi, ogni asta è soggetta soltanto a uno sforzo normale: tira (tirante) oppure spinge (puntone), senza flessione e senza taglio.

È questo il motivo della sua efficienza. In una trave a sezione piena gran parte del materiale vicino all’asse neutro lavora poco (lo abbiamo visto con la formula di Navier, lezione L2); in una reticolare il materiale è concentrato nelle aste, e in ogni asta la tensione è uniforme su tutta la sezione. Con poco peso si coprono luci grandi: coperture di capannoni, palestre, ponti, tralicci, gru, pensiline.

• Leggerezza: a parità di luce e carico pesa molto meno di una trave piena, perché il materiale lavora tutto alla stessa tensione.
• Altezza «a buon mercato»: la rigidezza cresce con l’altezza, e alzare una reticolare costa poco materiale in più (si allungano solo le aste di parete).
• Prefabbricazione: aste e nodi si producono in officina e si montano in cantiere, in acciaio, in legno, in alluminio, talvolta in calcestruzzo.
• In compenso: molti nodi da realizzare e controllare, ingombro in altezza, aste compresse snelle che possono sbandare (instabilità).

Ogni elemento della reticolare ha un nome preciso, che si usa nelle relazioni di calcolo e in cantiere.

Montanti e diagonali insieme si chiamano aste di parete (o di anima): fanno nella reticolare ciò che l’anima fa in una trave a doppio T. I correnti fanno ciò che fanno le ali.

Le reticolari si distinguono per la forma del contorno (a correnti paralleli oppure a falde inclinate, le capriate) e per il disegno delle aste di parete. Il disegno decide quali aste saranno tese e quali compresse.

Per il predimensionamento si usano rapporti orientativi: per le travi a correnti paralleli un’altezza dell’ordine di L/10 – L/15, per le capriate un’altezza al colmo intorno a L/4 – L/6, con diagonali inclinate tra 35° e 60° circa. Sono valori di primo tentativo, che dipendono da materiale, carichi e limiti di freccia: da verificare sui manuali e con il calcolo.

Il calcolo «a bielle» di una reticolare si basa su ipotesi semplificative. Conoscerle serve a capire quando il modello è affidabile e quando no.

• Nodi a cerniera perfetta: le aste sono libere di ruotare nel nodo, che quindi non trasmette momenti.
• Carichi solo nei nodi: carichi e reazioni sono applicati nei nodi. Nelle coperture lo si ottiene appoggiando gli arcarecci proprio sui nodi del corrente superiore.
• Aste rettilinee con assi concorrenti: gli assi baricentrici delle aste che arrivano in un nodo si incontrano in un solo punto.
• Piccoli spostamenti: l’equilibrio si scrive sulla geometria iniziale, non deformata.

Con queste ipotesi ogni asta è una biella (lezione F1): riceve due forze uguali e opposte dirette lungo il proprio asse. In realtà i nodi sono saldati o bullonati attraverso un fazzoletto (una piastra) e hanno una certa rigidezza: nascono piccoli momenti detti sforzi secondari. Se le aste sono snelle e gli assi ben centrati nel nodo, gli sforzi secondari sono modesti e il modello a cerniere dà risultati affidabili per gli sforzi normali.

In F2 abbiamo visto che per collegare rigidamente n nodi servono almeno a = 2n − 3 aste. Conviene scrivere la stessa condizione contando anche le reazioni dei vincoli esterni.

Ogni nodo fornisce 2 equazioni di equilibrio alla traslazione (ΣX = 0, ΣY = 0; quella alla rotazione è automatica perché le forze sono concorrenti). In tutto si hanno 2n equazioni. Le incognite sono gli sforzi delle a aste più le r componenti di reazione dei vincoli esterni.

Con i vincoli esterni consueti (una cerniera e un carrello, r = 3) si ritrova a = 2n − 3. La condizione numerica è necessaria ma non sufficiente: le aste devono essere disposte in modo efficace. Le reticolari a generazione triangolare (un triangolo iniziale, poi ogni nodo nuovo collegato con due aste nuove) sono sempre indeformabili.

Come in F2: lo sforzo è positivo se di trazione (tirante) e negativo se di compressione (puntone). Guardando il nodo, la forza di un’asta tesa esce dal nodo (lo tira verso l’asta), quella di un’asta compressa entra nel nodo (lo spinge).

• 1. Reazioni vincolari con le tre equazioni cardinali applicate a tutta la trave (lezione F1). Con carichi simmetrici bastano le considerazioni di simmetria.
• 2. Aste scariche: si individuano subito con le regole della tavola 07, e il lavoro si riduce.
• 3. Tutte le aste ipotizzate tese: in ogni nodo le forze incognite si disegnano uscenti. Il segno del risultato dice subito se l’asta è un tirante (+) o un puntone (−), senza dover indovinare.
• 4. Un nodo alla volta, partendo da un nodo con non più di due incognite; gli sforzi trovati diventano dati per i nodi successivi.
• 5. Controllo finale: l’ultimo nodo ha tutte le aste già note e le sue equazioni devono risultare soddisfatte. È la verifica naturale di tutto il calcolo.

Per scomporre lo sforzo di un’asta inclinata dell’angolo α rispetto all’orizzontale si usano le componenti N·cos α (orizzontale) e N·sen α (verticale), con il verso che va dal nodo verso l’altra estremità dell’asta.

In molte reticolari alcune aste, per una certa condizione di carico, hanno sforzo nullo. Riconoscerle prima di iniziare semplifica il calcolo e aiuta a controllare i risultati.

• Regola 1: se in un nodo scarico arrivano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche. Due forze non allineate non possono farsi equilibrio se non sono entrambe nulle.
• Regola 2: se in un nodo scarico arrivano tre aste, di cui due allineate, la terza è scarica e le due allineate hanno lo stesso sforzo. Basta scrivere l’equilibrio nella direzione perpendicolare alle due allineate.
• Se nel nodo c’è un carico o un vincolo, le regole non valgono così come sono: si scrive l’equilibrio completo del nodo.

Nell’esempio 1 (trave Pratt, tavola 08) il nodo 0 ha due sole aste ma anche la reazione: non è scarico. Scrivendone l’equilibrio si trova comunque che il primo campo del corrente inferiore, i1, è scarico, e per simmetria anche i6. Nella trave Howe con gli stessi carichi (tavola 13) sono scariche s1, s6 e il montante centrale m3: quest’ultimo per la regola 2 applicata al nodo 3.

Una trave reticolare tipo Pratt in acciaio, con correnti paralleli, copre una luce di 12,00 m in 6 campi da 2,00 m; l’altezza è h = 2,00 m, quindi le diagonali sono inclinate di 45°. Gli arcarecci della copertura caricano i nodi superiori con 20 kN ciascuno, e i due nodi di estremità con metà carico, 10 kN. I dati sono didattici.

Verifica di isostaticità. n = 14 nodi, a = 6 + 6 + 7 + 6 = 25 aste, r = 3 (cerniera nel nodo 0, carrello nel nodo 6): a + r = 28 = 2n. La trave è a generazione triangolare: isostatica.

Reazioni. Il carico totale vale 10 + 5 · 20 + 10 = 120 kN ed è simmetrico; non ci sono forze orizzontali.

Con sen 45° = cos 45° = √2/2 ≈ 0,7071 la scomposizione degli sforzi diagonali è semplice: componente orizzontale e verticale sono uguali.

Si parte dal nodo 0, dove arrivano due sole aste. Tutte le aste incognite si ipotizzano tese (forza uscente dal nodo). Asse x verso destra, asse y verso l’alto.

Nel nodo 0′ si legge bene il ruolo del segno: il montante m0 è compresso (−60) e quindi spinge il nodo verso l’alto con 60 kN; il carico di 10 kN lo spinge in basso; i 50 kN che mancano all’equilibrio verticale li deve dare la diagonale d1, che tirando il nodo verso il basso a destra risulta tesa.

Per simmetria la metà destra ripete la sinistra. Riportiamo gli sforzi sullo schema, con il colore che indica il tipo di sollecitazione.

• Correnti: lo sforzo cresce dagli appoggi verso la mezzeria (50 → 80 → 90 kN), come il momento flettente di una trave appoggiata.
• Diagonali: lo sforzo cresce dalla mezzeria verso gli appoggi (14 → 42 → 71 kN), come il taglio.
• Montanti: tutti compressi; quelli di estremità portano la reazione d’appoggio (60 kN), quello centrale solo il carico del suo nodo (20 kN).
• Le aste più sollecitate sono i correnti in mezzeria (90 kN) e le diagonali di estremità (70,7 kN): sono queste che dimensioneremo nella tavola 15.

I valori sono stati controllati con un secondo metodo indipendente, un calcolo agli spostamenti (elementi finiti) dell’intera reticolare: gli sforzi coincidono.

Quando interessa lo sforzo di poche aste, per esempio i correnti in mezzeria, non conviene risolvere tutti i nodi. Si taglia la trave con una sezione di Ritter che attraversa tre aste non concorrenti nello stesso punto, e si impone l’equilibrio di una delle due parti.

Il polo di un’asta è il punto in cui si incontrano le altre due aste tagliate. Scrivendo l’equilibrio alla rotazione rispetto al polo, le altre due aste hanno braccio nullo e resta una sola incognita.

Le quantità tra parentesi quadre sono i momenti, rispetto al polo, delle forze che stanno a sinistra della sezione: sono proprio i momenti flettenti che avrebbe una trave piena con gli stessi carichi, nelle sezioni x = 6 m e x = 4 m. I risultati coincidono con quelli del metodo dei nodi.

Il metodo di Ritter suggerisce una lettura molto utile. Per una reticolare a correnti paralleli di altezza h, caricata nei nodi, si può pensare a una trave piena equivalente con la stessa luce, gli stessi vincoli e gli stessi carichi.

• I correnti formano la coppia interna che equilibra il momento flettente: con M positivo (fibre inferiori tese, convenzione del corso) il corrente inferiore è teso e il superiore compresso. M si calcola nel polo dell’asta, cioè nel nodo opposto del campo.
• Le diagonali portano il taglio: in ogni campo la componente verticale della diagonale equilibra il taglio di quel campo. Il segno dipende dal verso della diagonale (vedi Pratt e Howe, tavola 13).
• I montanti riportano da un corrente all’altro i carichi dei nodi e la componente verticale delle diagonali che vi arrivano.

Nell’esempio: M = 100, 160, 180 kN·m nei nodi 1, 2, 3; divisi per h = 2 m danno 50, 80, 90 kN, gli sforzi dei correnti. Il taglio vale 50, 30, 10 kN nei campi 1, 2, 3; diviso per sen 45° dà 70,7, 42,4, 14,1 kN, gli sforzi delle diagonali.

Rifacciamo l’esempio 1 con le diagonali girate dall’altra parte, cioè salenti verso la mezzeria: è la trave Howe. Geometria e carichi sono gli stessi.

Il valore assoluto degli sforzi nelle diagonali è lo stesso, perché dipende solo dal taglio; cambia il segno. Cambia anche il polo dei correnti, che nella Howe cade nell’altro nodo del campo: per questo i correnti hanno valori «scalati» di un campo.

• Pratt in acciaio: le aste più lunghe (le diagonali, lunghe h·√2) sono tese e non soffrono di instabilità; le compresse (i montanti) sono corte. È la scelta più comune per le travi in acciaio con carichi verso il basso.
• Howe in legno: il legno lavora bene a compressione e le giunzioni a compressione (per contatto, con incastri a dente) sono semplici; le aste tese, i montanti, si realizzavano con barre di ferro filettate. È la logica delle reticolari ottocentesche in legno.
• Attenzione al verso dei carichi: se il carico si inverte (per esempio la depressione del vento su una copertura leggera), si invertono anche tutti i segni. Una Pratt sollevata dal vento ha le diagonali compresse.

Una capriata in legno copre una luce di 8,00 m con altezza al colmo H = 2,00 m (pendenza 50%). Gli arcarecci caricano i nodi D, K, E con 10 kN ciascuno, i nodi d’appoggio A e B con 5 kN. I saettoni partono dal piede del monaco (C) e raggiungono i puntoni a metà falda (D ed E). Dati didattici.

Isostaticità: n = 6, a = 9 (2 tratti di catena, 4 tratti di puntone, monaco, 2 saettoni), r = 3: 12 = 2·6. Reazioni: carico totale 40 kN simmetrico, R(A) = R(B) = 20 kN. Angolo delle falde: tg α = 2/4 = 0,5, α = 26,57°, sen α = 0,4472, cos α = 0,8944. I saettoni D–C ed E–C hanno la stessa inclinazione.

Controllo con Ritter. Una sezione verticale a 3 m da A taglia il puntone DK, il saettone DC e la catena AC. Il polo della catena è D (dove si incontrano DK e DC), a 1,00 m di altezza: N(AC)·1,00 = (20 − 5)·2,00 = 30 kN·m, quindi N(AC) = +30 kN, come col metodo dei nodi.

• La catena è tesa (+30 kN): impedisce ai puntoni di aprirsi e di spingere sui muri. Senza catena la copertura spingerebbe orizzontalmente come un arco (F2, tavola 09).
• Il monaco è teso (+10 kN): non «regge» il colmo, ma è appeso al colmo e sostiene il nodo C, dove arrivano i saettoni. Per questo nelle capriate storiche il monaco spesso non tocca la catena, oppure la sostiene con una staffa.
• I saettoni sono compressi (−11,18 kN) e spezzano a metà la lunghezza libera dei puntoni, che sono le aste più compresse (−33,54 kN all’appoggio).

Calcolati gli sforzi, ogni asta si dimensiona come un elemento soggetto a sforzo normale. Ma tiranti e puntoni si comportano in modo molto diverso.

Tiranti. Si verifica la resistenza della sezione (lezioni H1 e H3): σ = N/A ≤ f_yd. Per l’acciaio S235, con f_yk = 235 MPa e γ_M0 = 1,05, si ha f_yd ≈ 223,8 MPa. Per il corrente inferiore dell’esempio 1, N = 80 kN:

Se l’asta è collegata con bulloni, i fori riducono la sezione: si verifica anche l’area netta in corrispondenza dei fori, con la resistenza a rottura dell’acciaio e il coefficiente γ_M2 = 1,25 (NTC 2018, Tab. 4.2.VII).

Puntoni. Un’asta compressa e snella non arriva a schiacciarsi: a un certo carico sbanda lateralmente. È l’instabilità per carico di punta. Per un’asta con estremità a cerniera il carico critico è quello di Eulero:

L₀ è la lunghezza libera di inflessione: nel piano della trave, per nodi considerati a cerniera, è la distanza tra i nodi. Fuori dal piano dipende da dove il corrente compresso è trattenuto lateralmente (arcarecci collegati a un controvento): può essere molto più lunga. λ è la snellezza; conta il raggio d’inerzia minimo della sezione. Le NTC 2018 raccomandano di non superare λ = 200 per le membrature principali e 250 per quelle secondarie.

Esempio. Corrente superiore dell’esempio 1, N = −90 kN, L₀ = 2,00 m nel piano e fuori piano (arcarecci controventati su ogni nodo). Tubo tondo 76,1 × 4,0 mm in S235 (valori di profilario indicativi, da verificare sul profilario): A = 906 mm², I = 59,06 cm⁴, i = 25,5 mm.

La verifica è soddisfatta con un coefficiente di utilizzo 90/157 ≈ 0,57. Senza instabilità la stessa sezione resisterebbe a A · f_yd ≈ 203 kN: il carico di punta ha «tolto» circa il 22% della resistenza.

Ogni asta si allunga o si accorcia di ΔL = N·L/(E·A) (legge di Hooke, lezione L1). La somma di questi piccoli allungamenti fa abbassare i nodi. Per calcolare l’abbassamento di un nodo si usa il principio dei lavori virtuali.

N sono gli sforzi dovuti ai carichi veri; n sono gli sforzi dovuti a una forza unitaria (1 kN) applicata nel nodo di cui si cerca lo spostamento, nella direzione cercata; la somma si estende a tutte le aste. Gli sforzi n si calcolano con gli stessi metodi visti finora.

Esempio 1, abbassamento del nodo 3 (mezzeria del corrente inferiore). Correnti con A = 2 400 mm², aste di parete con A = 1 200 mm², E = 210 000 MPa (valori didattici). Con la forza unitaria nel nodo 3 si ha n = −0,5, −1, −1,5 nei correnti superiori, +0,5, +1 negli inferiori (i1 e i6 scarichi), +0,707 nelle diagonali, −0,5 nei montanti tranne m3, che è scarico.

Il risultato è stato controllato con un calcolo agli spostamenti indipendente: 5,87 mm in entrambi i casi. Interessante il confronto con una «trave piena equivalente» che abbia per momento d’inerzia solo quello dei correnti, I ≈ 2·A·(h/2)² = 4,8·10⁹ mm⁴: con q = 10 kN/m la formula 5qL⁴/(384EI) dà circa 2,7 mm, meno della metà. Nella reticolare le aste di parete si deformano e contribuiscono per più della metà della freccia: è l’equivalente della deformazione a taglio, che nelle travi piene snelle si trascura.

• Confondere il verso della forza nel nodo: un’asta tesa tira il nodo verso di sé, una compressa lo spinge. Ipotizzare tutte le aste tese e lasciar decidere il segno evita l’errore.
• Scomporre male le inclinate: controllare che cos α vada con la componente orizzontale e che il verso segua l’asta dal nodo verso l’altra estremità.
• Partire da un nodo con tre incognite: due equazioni non bastano. Si sceglie un altro nodo, oppure si usa Ritter.
• Dimenticare carichi e reazioni nei nodi d’appoggio: il carico di estremità (qui 10 kN) e la reazione agiscono entrambi.
• Usare le regole delle aste scariche in un nodo caricato: le regole valgono solo per nodi senza carichi e senza vincoli.
• Verificare i puntoni solo a resistenza: nelle aste compresse la verifica che comanda è quasi sempre quella di instabilità, anche fuori dal piano della trave.

Controlli rapidi: equazioni del nodo finale soddisfatte; simmetria degli sforzi con carichi simmetrici; correnti confrontati con M/h e diagonali con V/sen α; confronto con un programma di calcolo.

Risultati per il controllo

• Problema 1. (a) n = 9, a = 15, r = 3: 18 = 18, isostatica; (b) n = 14, a = 27, r = 3: 30 > 28, iperstatica di grado 2; (c) n = 14, a = 24, r = 3: 27 < 28, labile (il terzo campo è un quadrilatero articolato).
• Problema 2. Scariche: s1, s6 (nel nodo 0′ arrivano solo m0 e s1 e non ci sono forze orizzontali) e m3 (regola 2 nel nodo 3). m0 = −10 kN; d1 = −70,71 kN; m1 = +30 kN; i3 = +90 kN.
• Problema 3. R = 60 kN; M in mezzeria = 60·10 − 7,5·10 − 15·(7,5 + 5 + 2,5) = 300 kN·m, s centrale = −150 kN; i2: M nel nodo 1′ = (60 − 7,5)·2,5 = 131,25 kN·m, i2 = +65,63 kN; sen α = 2,00/√(2,50² + 2,00²) = 2,00/3,20 ≈ 0,6247 (α ≈ 38,7°), d1 = 52,5/0,6247 = +84,04 kN.
• Problema 4. Stessa geometria in scala e stessa pendenza: gli sforzi crescono come i carichi (× 1,2). R = 24 kN; catena +36 kN; puntone all’appoggio −40,25 kN, al colmo −26,83 kN; monaco +12 kN; saettoni −13,42 kN.
• Problema 5. λ = 2000/20,2 = 98,9; λ̄ = 98,9/93,9 = 1,053; Φ = 1,144; χ = 0,628; N_b,Rd = 0,628·574·235/1,05 = 80,7 kN < 90 kN: non verificato. Serve il tubo più grande (157 kN).

• Trave reticolare: aste rettilinee collegate nei nodi; con nodi a cerniera e carichi nei nodi ogni asta è una biella, tesa (tirante, +) o compressa (puntone, −).
• Parti: corrente superiore e inferiore (le «ali»), montanti e diagonali (l’«anima»), nodi, campi.
• Tipologie: a correnti paralleli (Pratt, Howe, Warren) e capriate (con monaco e saettoni, a montanti e diagonali, Polonceau). Il verso delle diagonali decide quali aste sono tese.
• Isostaticità: a + r = 2n con aste ben disposte (generazione triangolare); minore: labile; maggiore: iperstatica.
• Aste scariche: nodo scarico con due aste non allineate, oppure con tre aste di cui due allineate (la terza è scarica).
• Metodo dei nodi: ΣX = 0 e ΣY = 0 in ogni nodo, partendo da nodi con due incognite e ipotizzando le aste tese; l’ultimo nodo fa da controllo.
• Metodo di Ritter: sezione su tre aste, equilibrio alla rotazione rispetto al polo dell’asta cercata (o alla traslazione se il polo è all’infinito).
• Analogia con la trave: N(corrente) = M/h, N(diagonale) = V/sen α. Più altezza, meno sforzo nei correnti.
• Capriata: catena e monaco tesi, puntoni e saettoni compressi; la catena assorbe la spinta.
• Dimensionamento: tiranti a resistenza (A ≥ N/f_yd, area netta); puntoni a instabilità, N(cr) = π²EI/L₀², con i coefficienti di norma da verificare.
• Freccia: v = Σ N·n·L/(E·A); le aste di parete pesano molto e non vanno trascurate.