Rotazioni e Frecce di Travi Appoggiate e Mensole

Una trave può essere abbastanza resistente e comunque inadatta: se si inflette troppo, i pavimenti si fessurano, le tramezze si lesionano, le porte si incastrano, l’acqua ristagna sulle coperture. La verifica di resistenza (σ e τ, L2-L6) non basta: serve anche la verifica di deformabilità.

In una trave inflessa ogni sezione si sposta verso il basso (freccia v) e ruota (rotazione φ). Le due grandezze sono legate: la rotazione è la pendenza della linea deformata. Saperle calcolare serve a tre scopi.

• Verificare la deformabilità: la freccia massima deve restare entro un limite, espresso come frazione della luce (stato limite di esercizio).
• Calcolare gli spostamenti di strutture composte: la rotazione di un estremo trascina il tratto che segue, e lo sposta di una quantità proporzionale alla sua lunghezza.
• Risolvere le travi iperstatiche: l’uguaglianza delle rotazioni su due lati di un appoggio fornisce le equazioni che mancano alla statica. È il tema della lezione sulle travi continue (1 UD29), per la quale questa lezione è propedeutica.

I limiti di freccia dipendono dall’uso dell’elemento (coperture, solai, elementi che portano tramezze fragili) e dal materiale; sono dell’ordine di una frazione della luce, tra L/200 e L/500. I valori esatti sono nelle NTC 2018 e nelle norme di materiale: da verificare sul testo vigente.

Sotto carico l’asse della trave, rettilineo, diventa una curva: la linea elastica. Ne studiamo due grandezze, lo spostamento verticale e la rotazione.

• Freccia v(x): spostamento verticale del baricentro della sezione a distanza x dall’origine; positiva verso il basso. Si misura in mm.
• Rotazione φ(x): angolo di cui ruota la sezione, uguale all’angolo tra la tangente alla linea elastica e l’asse indeformato. Si misura in radianti (1 rad = 57,3°) ed è un numero puro.
• Piccole rotazioni: nelle travi reali φ è dell’ordine di qualche millesimo di radiante, quindi tan φ ≈ φ e vale φ = dv/dx. È l’ipotesi di piccoli spostamenti usata anche in L2.
• Segni: x verso destra, v positivo in basso, φ positiva se oraria, M positivo se tende le fibre inferiori (come in G1). Con questa scelta una trave inflessa verso il basso ha v positivo e φ positiva nell’estremo sinistro.

La curvatura di una trave inflessa è già nota da L2: 1/ρ = M / (EI). Per piccole rotazioni la curvatura è la derivata seconda dello spostamento, e da qui nasce l’equazione della linea elastica.

Il segno meno deriva dalle convenzioni: con v positivo verso il basso e M positivo quando le fibre inferiori sono tese, la trave si incurva verso il basso e la derivata seconda di v è negativa. Derivando ancora si ottengono le relazioni con taglio e carico.

Procedura generale

• 1. Calcolare le reazioni vincolari con le equazioni di equilibrio (F1).
• 2. Scrivere M(x) in ogni tratto in cui cambia la legge del carico.
• 3. Integrare due volte EI·v″ = −M(x): compaiono due costanti per ogni tratto.
• 4. Fissare le costanti con le condizioni al contorno: sull’appoggio v = 0; sull’incastro v = 0 e φ = 0; tra due tratti consecutivi v e φ sono continue.
• 5. Valutare φ e v dove servono (appoggi, estremi liberi, mezzeria) e trovare il massimo di v dove φ = 0.

Applichiamo la procedura a due casi che serviranno da riferimento: la trave appoggiata con carico uniforme e la mensola con una forza all’estremo.

Trave appoggiata con carico uniforme q (luce L)

Le reazioni valgono qL/2. Il momento a distanza x dall’appoggio sinistro è M(x) = qLx/2 − qx²/2, quindi:

Condizioni al contorno: v(0) = 0 dà C₂ = 0; v(L) = 0 dà −qL⁴/12 + qL⁴/24 + C₁·L = 0, cioè C₁ = qL³/24. Sostituendo:

Agli appoggi φA = qL³/(24EI) (oraria) e φB = −qL³/(24EI) (antioraria); in mezzeria, dove φ = 0, v = 5·q·L⁴ / (384·EI).

Mensola con forza P all’estremo libero (lunghezza L, x dall’incastro)

Il momento è M(x) = −P·(L − x), negativo perché le fibre superiori sono tese. Integrando:

In questo caso le costanti sono nulle, perché all’incastro φ(0) = 0 e v(0) = 0. All’estremo libero:

Confrontiamo due relazioni: per la trave reale M″ = − q, per la linea elastica EI·v″ = − M, cioè v″ = − M/EI. Hanno la stessa forma: il momento della trave reale sta al carico come la freccia sta a M/EI.

Se si carica una trave fittizia, la trave coniugata, con un carico M/EI (diretto verso il basso dove M è positivo), il suo momento flettente M* è la freccia v e il suo taglio V* è la rotazione φ della trave reale.

Perché valgano le stesse condizioni al contorno, i vincoli della coniugata sono diversi da quelli reali:

Esempio: coppia M applicata in A

Il diagramma M/EI è un triangolo con valore M/EI in A e nullo in B: la sua area è M·L/(2EI) e il baricentro è a L/3 da A. Le reazioni della coniugata sono le rotazioni:

La freccia massima si trova dove V* = 0: la distanza da A è x = L·(1 − 1/√3) ≈ 0,423·L. Lì il momento della coniugata dà v = M·L² / (9·√3·EI).

Esempio: mensola con forza all’estremo

La coniugata è incastrata nell’estremo reale libero. Il carico è un triangolo di area P·L²/(2EI), con baricentro a 2L/3 dalla sezione di incastro della coniugata. Quindi φ = V* = P·L²/(2EI) e v = M* = (P·L²/2EI)·(2L/3) = P·L³/(3EI): gli stessi risultati della doppia integrazione.

Cominciamo dai casi esemplari di trave appoggiata (luce L, rigidezza EI costante) con una forza concentrata. Le figure mostrano la deformata, molto amplificata, e le formule.

Forza in mezzeria

Il diagramma M/EI è un triangolo con picco P·L/(4EI) in mezzeria e area P·L²/(8EI). Metà dell’area è portata da ogni appoggio della coniugata: φA = φB = P·L²/(16·EI). La freccia in mezzeria è il momento della coniugata nel punto centrale:

Forza a distanza a dall’appoggio A (b = L − a)

• Rotazioni: φA = P·a·b·(L + b)/(6·EI·L) e φB = P·a·b·(L + a)/(6·EI·L). L’appoggio più vicino al carico ruota di più (se a < b allora L + b > L + a).
• Freccia sotto il carico: v = P·a²·b²/(3·EI·L). Si ritrova la formula della mezzeria con a = b = L/2.
• Freccia massima: se la forza è oltre la mezzeria (a ≥ b) il massimo cade a distanza x = √((L² − b²)/3) da A e vale P·b·(L² − b²)^(3/2) / (9·√3·EI·L); altrimenti si scambiano i ruoli di A e B. Il massimo è sempre nel tratto più lungo e poco lontano dalla mezzeria.

Per i solai e le coperture il carico tipico è distribuito. Il caso fondamentale è il carico uniforme q su tutta la luce; accanto c’è il carico triangolare (spinta del terreno, carico di un fluido).

• Carico uniforme: φA = φB = q·L³/(24·EI), v max = 5·q·L⁴/(384·EI) in mezzeria (derivate nella tavola 04). Le reazioni valgono q·L/2.
• Confronto con la forza equivalente: una forza P = q·L in mezzeria dà v = q·L⁴/(48·EI) = 8·q·L⁴/(384·EI). Il carico distribuito inflette il 62,5% di quella freccia (5/8): conta come la forza è distribuita, non solo quanto vale.
• Carico triangolare (nullo in A, q in B): φA = 7·q·L³/(360·EI), φB = q·L³/(45·EI) = 8·q·L³/(360·EI). L’estremo dove il carico è maggiore ruota di più. La freccia massima, 0,00652·q·L⁴/EI, è a circa 0,519·L da A, poco oltre la mezzeria.
• Stessa risultante, stessa freccia: la risultante del carico triangolare è Q = q·L/2. In funzione di Q la freccia massima è 0,01304·Q·L³/EI, quasi uguale a quella del carico uniforme di risultante Q, 5/384 = 0,01302·Q·L³/EI. Per stimare la freccia basta quindi la risultante, con piccoli errori.

Una coppia applicata a una trave appoggiata è il caso fondamentale per le travi continue: in corrispondenza degli appoggi intermedi le travi si trasmettono proprio dei momenti.

• Coppia M in A: φA = M·L/(3·EI) nell’estremo caricato, φB = M·L/(6·EI) nell’altro, in verso opposto. La rotazione dell’estremo caricato è doppia. La freccia massima M·L²/(9·√3·EI) cade a 0,423·L da A (dimostrato nella tavola 05).
• Due coppie uguali ai due estremi: il momento è costante e uguale a M: è la flessione pura di L2. La linea elastica è un arco di parabola (piccole rotazioni), con φA = φB = M·L/(2·EI) e v max = M·L²/(8·EI) in mezzeria. Verifica: con ρ = EI/M, v = L²/(8ρ).
• Coppia M in mezzeria: la deformata è antisimmetrica rispetto al centro: v è nulla in mezzeria, φA = φB = M·L/(24·EI), mentre la rotazione al centro vale M·L/(12·EI).

Nella mensola (incastro in A, estremo libero in B) la rotazione e la freccia sono massime all’estremo libero. I tre casi fondamentali sono la forza P, il carico uniforme q e la coppia M applicati all’estremo.

Completiamo con due carichi triangolari e con la forza non applicata all’estremo libero. Quest’ultimo caso è utile da sapere perché mostra un trucco molto usato: il tratto oltre il carico non è sollecitato, quindi resta rettilineo.

• Triangolare con massimo all’incastro: φ = q·L³/(24·EI), v = q·L⁴/(30·EI). Il carico è concentrato vicino all’incastro e inflette poco.
• Triangolare con massimo all’estremo: φ = q·L³/(8·EI), v = 11·q·L⁴/(120·EI). Con lo stesso q il carico è più lontano dall’incastro e la freccia è 2,75 volte maggiore.
• Forza P a distanza a dall’incastro: fino al carico è una mensola di lunghezza a, con φa = P·a²/(2·EI) e va = P·a³/(3·EI). Oltre il carico il momento è nullo, la trave non si curva e prosegue dritta con pendenza φa. Quindi φ estremo = P·a²/(2·EI) e v estremo = va + φa·(L − a) = P·a²·(3L − a)/(6·EI).
• Carico uniforme sul tratto a vicino all’incastro: con lo stesso ragionamento φ estremo = q·a³/(6·EI) e v estremo = q·a³·(4L − a)/(24·EI).

Tutti i casi in un colpo d’occhio, per la consultazione durante gli esercizi. EI costante; le rotazioni sono in valore assoluto.

Trave appoggiata (luce L)

Mensola (incastro in A, estremo libero in B, lunghezza L)

Finché il materiale resta elastico lineare (Hooke) e gli spostamenti sono piccoli, lo spostamento dovuto a più carichi è la somma degli spostamenti dovuti a ciascuno. Questo vale per v e per φ, e permette di comporre i casi della tabella.

Esempio 1 · IPE 200 appoggiata con carico uniforme e forza in mezzeria

Trave in acciaio IPE 200 (I = 1943 cm⁴, dato indicativo da verificare sul profilario), E = 210 000 MPa, luce L = 4,00 m, carico uniforme q = 10 kN/m e forza P = 8 kN in mezzeria (dati didattici).

Con un limite di L/250 = 16 mm la freccia di 10,8 mm è accettabile, ma il peso proprio del profilato (circa 0,22 kN/m, da verificare sul profilario) non è ancora compreso nel carico: va aggiunto a q prima di concludere.

Due esempi per completare il quadro: una mensola in legno con forza all’estremo e la trave appoggiata con una coppia in A, il caso dei nodi delle travi continue.

Esempio 2 · mensola in legno 120 × 240 mm

Mensola in legno di lunghezza L = 2,00 m, sezione 120 × 240 mm (I = b·h³/12 = 138,24·10⁶ mm⁴), E = 11 000 MPa (valore indicativo di un legno lamellare, da verificare sulla scheda del materiale), forza P = 2 kN all’estremo (dati didattici).

Il rapporto E/I conta: la stessa mensola in acciaio, con I uguale, avrebbe una freccia 19 volte minore (210 000/11 000), mentre per ottenere la stessa rigidezza del legno con un profilato d’acciaio basta una sezione molto più piccola.

Esempio 3 · IPE 200 appoggiata con coppia di 10 kN·m in A

Gli errori più frequenti nel calcolo di rotazioni e frecce sono di unità, di segno o di formula. Pochi controlli rapidi li fanno emergere.

• Unità: E in MPa, I in mm⁴, M in N·mm, carichi in N e N/mm, lunghezze in mm. Se si usano kN e m ovunque, si scrive EI in kN·m² e il risultato è in metri: va convertito.
• Controllo dimensionale: una rotazione è adimensionale (P·L²/(EI) è N·mm²/N·mm² = 1); una freccia è una lunghezza (P·L³/(EI) è N·mm³/N·mm² = mm).
• Esponente di L: la freccia cresce con L³ per le forze e con L⁴ per i carichi distribuiti. Raddoppiando la luce la freccia per q aumenta di 16 volte, per P di 8 volte.
• Peso dell’inerzia: in una sezione rettangolare I cresce con h³. Raddoppiando l’altezza la freccia diventa un ottavo; raddoppiando la larghezza, la metà.
• Momento d’inerzia giusto: nella formula va I rispetto all’asse neutro, cioè all’asse intorno al quale la sezione ruota (in genere l’asse forte, Ix).
• EI costante: le formule valgono per travi di sezione e materiale uniformi. Con sezione variabile bisogna integrare M/EI(x) tratto per tratto.
• Deformazione da taglio: le formule considerano solo la flessione. Il contributo del taglio è trascurabile nelle travi snelle (luce molto maggiore dell’altezza) ma cresce nelle travi alte e corte.
• Effetti a lungo termine: nel legno e nel calcestruzzo i carichi permanenti fanno crescere la freccia nel tempo (viscosità). Le norme (EC5, NTC) prevedono coefficienti dedicati, da verificare sul testo vigente.

Cinque problemi per controllare la comprensione dei casi esemplari. Dati inventati a scopo didattico.

Risultati per il controllo

• Problema 1. EI = 210 000 · 38,92·10⁶ = 8,17·10¹² N·mm²; v = 5·6·5000⁴/(384·EI) = 5,97 mm; L/v = 837; φ = q·L³/(24·EI) = 3,82·10⁻³ rad (0,22°)
• Problema 2. v = P·L³/(3·E·I) = 1,38 mm; φ = P·L²/(2·E·I) = 1,38·10⁻³ rad. I due numeri coincidono perché v/φ = 2L/3 = 1000 mm: la freccia in mm è mille volte la rotazione in rad
• Problema 3. φA = 15·6/(3·8000) = 3,75·10⁻³ rad; φB = 1,875·10⁻³ rad; v max = M·L²/(9·√3·EI) = 4,33 mm a 0,423·6 = 2,54 m da A
• Problema 4. v = q·L⁴/(8·EI) + P·L³/(3·EI) = 0,0012 + 0,00213 = 3,33 mm; φ = q·L³/(6·EI) + P·L²/(2·EI) = 0,0008 + 0,0016 = 2,40·10⁻³ rad
• Problema 5. (a) freccia ×16 e rotazioni ×8, perché v ∝ L⁴ e φ ∝ L³. (b) I ∝ h³, quindi I diventa 8 volte maggiore e sia la freccia sia le rotazioni si riducono a un ottavo

• Freccia v (spostamento verticale) e rotazione φ (pendenza della linea elastica): φ = dv/dx. Per le piccole rotazioni valgono le formule lineari.
• Linea elastica: EI·v″ = −M, con v positivo in basso e M positivo se tende le fibre inferiori. Derivando: EI·v‴ = −V, EI·v⁗ = q.
• Doppia integrazione: si integra due volte, le costanti si fissano con le condizioni al contorno (appoggio v = 0, incastro v = φ = 0, continuità tra i tratti).
• Trave coniugata: si carica una trave fittizia con M/EI: la rotazione φ è il suo taglio, la freccia v il suo momento. Incastro e estremo libero si scambiano.
• Trave appoggiata: forza in mezzeria φ = PL²/16EI, v = PL³/48EI; carico uniforme φ = qL³/24EI, v = 5qL⁴/384EI; coppia in A φA = ML/3EI, φB = ML/6EI.
• Mensola: forza all’estremo φ = PL²/2EI, v = PL³/3EI; carico uniforme φ = qL³/6EI, v = qL⁴/8EI; coppia φ = ML/EI, v = ML²/2EI.
• Sovrapposizione: spostamenti e rotazioni nello stesso punto si sommano; i massimi si sommano solo se sono nella stessa sezione.
• Controlli: unità coerenti (N, mm), freccia ∝ L³ o L⁴ e ∝ 1/(EI), I rispetto all’asse giusto; i limiti di freccia sono da verificare sulle norme vigenti.
• Prossima tappa: le rotazioni di questa lezione sono i coefficienti dell’equazione dei tre momenti, base della lezione sulle travi continue (1 UD29).