La Sezione di Cemento Armato

Il calcestruzzo (CLS) è una pietra artificiale ottenuta impastando cemento, acqua, sabbia e ghiaia: un materiale forte a compressione ma — come già osservato per la muratura in G4 — pochissimo affidabile a trazione, dove si fessura a tensioni molto basse. Nel calcolo, questa debolezza si tratta allo stesso modo di G4: si assume che il calcestruzzo teso non reagisca affatto.

Il calcestruzzo si classifica per classe di resistenza, indicata con due numeri — per esempio C25/30: il primo (f_ck) è la resistenza caratteristica misurata su provini cilindrici, il secondo (R_ck) su provini cubici dello stesso getto — due modi normalizzati di misurare, sullo stesso materiale, la stessa proprietà con geometrie di prova diverse.

Per compensare la debolezza a trazione del calcestruzzo, si annegano nel getto delle barre di acciaio — le armature — disposte nelle zone della sezione dove nascerebbero le tensioni di trazione. È l’acciaio, non il calcestruzzo, a resistere alla trazione nella sezione inflessa (tavola 07 in avanti).

L’acciaio oggi standard per le armature in Italia è la classe B450C, con tensione caratteristica di snervamento f_yk = 450 N/mm² — un valore ben più alto degli acciai da carpenteria di H3 (S235-S355), perché qui l’acciaio lavora quasi sempre “annegato” e protetto dal calcestruzzo, senza i problemi di instabilità locale visti in H3.

Una sezione di cemento armato (c.a.) è quindi una sezione composta da due materiali con ruoli complementari: il calcestruzzo resiste a compressione, l’acciaio a trazione. A differenza di tutti i materiali visti finora — omogenei come acciaio e calcestruzzo isolati (H1), o anisotropo come il legno (H2) — qui la sezione è eterogenea per costruzione: due materiali diversi, con moduli elastici diversi, che collaborano nello stesso elemento strutturale.

Come per l’acciaio da carpenteria (H3), anche il cemento armato ha un metodo di calcolo storico basato sulle tensioni ammissibili — qui indicato con la sigla MTA (modello/metodo delle tensioni ammissibili). Il modello assume entrambi i materiali in campo elastico lineare (legge di Hooke, H1 tavola 08), ciascuno con il proprio modulo elastico: E_c per il calcestruzzo, E_s per l’acciaio, con E_s molto maggiore di E_c.

Per applicare le formule di Navier (G2) a una sezione fatta di due materiali, si introduce il coefficiente di omogeneizzazione:

Moltiplicando l’area reale dell’acciaio teso per n, si ottiene una sezione omogeneizzata: una sezione fittizia, di solo calcestruzzo, geometricamente equivalente a quella reale ai fini del calcolo elastico. La parte di calcestruzzo teso, coerentemente con tavola 01, si esclude del tutto da questa sezione omogeneizzata: non reagisce, quindi non esiste ai fini del calcolo.

Per un elemento compresso (pilastro tozzo), la verifica ricalca la forma vista in H1 e in H3: la tensione nel calcestruzzo non deve superare la tensione ammissibile σ_c,amm, un valore indicativamente dell’ordine di 9-10 N/mm² per un calcestruzzo di classe C25/30 (valore di prassi storica, non una citazione normativa letterale — stesso tipo di caveat già usato in H3 per l’acciaio):

dove A_omog è l’area della sezione omogeneizzata (tavola 04): l’area di calcestruzzo più n volte l’area di acciaio presente.

Per la flessione, il metodo MTA verifica separatamente le tensioni nei due materiali, ciascuna contro il proprio limite ammissibile: la tensione massima di compressione nel calcestruzzo σ_c contro σ_c,amm, e la tensione di trazione nell’acciaio σ_s contro σ_s,amm (indicativamente 255 N/mm² per gli acciai storicamente usati con questo metodo).

A differenza di H1-H3, qui non basta una sola verifica: entrambi i materiali devono essere verificati insieme, perché ciascuno può raggiungere il proprio limite indipendentemente dall’altro. Il modo pratico di calcolare σ_c e σ_s è oggetto delle tavole 07-08.

Il primo modo di calcolare le tensioni nella sezione inflessa applica direttamente la formula di Navier (G2, σ = M·y/I) alla sezione omogeneizzata (tavola 04): si individua l’asse neutro imponendo che il momento statico della sezione omogeneizzata rispetto ad esso sia nullo (lo stesso criterio già visto in E1 per il baricentro), poi si calcola il momento d’inerzia I della sezione omogeneizzata rispetto a quell’asse.

dove x è la distanza dell’asse neutro dal lembo compresso e d è l’altezza utile della sezione (distanza tra il lembo compresso e il baricentro dell’armatura tesa). Il fattore n compare nella formula di σ_s perché l’acciaio, nella sezione omogeneizzata, è stato “trasformato” in calcestruzzo equivalente: bisogna poi convertire la tensione trovata in quella reale dell’acciaio.

Un secondo modo, più diretto, guarda alla sezione inflessa come a una coppia di forze interne (l’immagine di apertura di questa lezione): una risultante di compressione C nel calcestruzzo e una risultante di trazione T nell’acciaio, separate da un braccio di leva interno z.

Per l’equilibrio della sezione, C deve essere uguale e contraria a T: il momento flettente esterno è quindi equilibrato dalla coppia (C, T) interna, con braccio z. Questo metodo è concettualmente equivalente a quello di Navier (tavola 07) — le due risultanti C e T sono, appunto, gli integrali delle tensioni triangolari e puntiformi che il metodo di Navier calcola — ma porta più rapidamente alle formule pratiche di progetto della tavola 09.

Nella pratica progettuale, risolvere ogni volta le equazioni di Navier per trovare le dimensioni incognite della sezione (invece di verificarne una già data) è laborioso. Il metodo tabellare raccoglie il risultato di quei passaggi algebrici in due coefficienti, r e η (eta), tabellati in funzione della tensione di esercizio del calcestruzzo, del rapporto c/d (copriferro su altezza utile) e del rapporto β tra armatura compressa e tesa:

Le formule prendono il nome di formule di progetto della sezione rettangolare: note M e una delle due dimensioni (b o d), permettono di calcolare l’altra e l’area di armatura necessaria, senza dover risolvere ogni volta l’equazione completa. Il coefficiente η oscilla, nella pratica, sempre attorno a 0,9 — è per questo che la formula approssimata A_s ≈ M/(0,9·d·σ_s) si usa così spesso, e che questo stesso valore 0,9 ricompare, non a caso, nel braccio di leva z ≈ 0,9d del metodo SLU (tavola 15).

Come per l’acciaio da carpenteria (H3, tavola 02), anche il cemento armato ha un metodo di calcolo più moderno — MSL, il metodo semiprobabilistico agli stati limite — che abbandona l’ipotesi di comportamento elastico lineare e usa modelli realistici del comportamento dei materiali fino a rottura.

Per il calcestruzzo compresso si usa il diagramma parabola-rettangolo: un tratto iniziale parabolico (comportamento non lineare, tensione crescente con la deformazione) fino a una deformazione ε_c2 ≈ 0,002 (2‰), seguito da un plateau a tensione costante f_cd fino alla deformazione ultima ε_cu ≈ 0,0035 (3,5‰), oltre la quale il calcestruzzo si considera rotto.

Per l’acciaio d’armatura si riusa lo stesso modello elastico-perfettamente plastico già visto in H3 per l’acciaio da carpenteria: tratto elastico lineare fino alla tensione di snervamento, poi plateau orizzontale a tensione costante.

Per l’acciaio B450C (f_yk = 450 N/mm², tavola 02): f_yd = 450/1,15 ≈ 391 N/mm². Da notare: γ_s per le armature (≈1,15) è diverso da γ_M0 per l’acciaio da carpenteria (≈1,05, H3) — anche se il materiale di base è chimicamente simile, la normativa assegna coefficienti di sicurezza differenti ai due impieghi.

Per un elemento compresso, la resistenza di calcolo combina il contributo del calcestruzzo e quello dell’armatura, ciascuno alla propria resistenza di calcolo:

dove A_c è l’area di calcestruzzo (al netto dell’armatura) e A_s l’area totale di armatura presente nella sezione. A differenza del metodo MTA (tavola 05), qui i due materiali non vengono più “omogeneizzati” in uno solo: ciascuno contribuisce con la propria resistenza di calcolo, sommate direttamente.

Nella sezione inflessa allo SLU, il calcestruzzo teso non reagisce (tavola 01): la sezione resistente è quindi parzializzata, limitata alla sola zona compressa di calcestruzzo più l’armatura tesa. La posizione dell’asse neutro x non si trova più imponendo un momento statico nullo (tavola 07, valido solo in campo elastico), ma imponendo l’equilibrio interno: la risultante di compressione nel calcestruzzo deve uguagliare la risultante di trazione nell’acciaio.

(il fattore 0,8 tiene conto, in forma approssimata, della forma non rettangolare del diagramma parabola-rettangolo di tavola 11). Una sezione correttamente armata — né troppo né troppo poco — raggiunge la rottura per snervamento dell’acciaio prima che il calcestruzzo raggiunga la sua deformazione ultima ε_cu: è la condizione di rottura duttile, preferibile — nello stesso senso già visto in H1 (tavola 10) — a una rottura fragile del calcestruzzo con acciaio ancora in campo elastico.

Trovato l’asse neutro (tavola 14), il momento resistente si calcola con lo stesso schema del metodo della coppia interna (tavola 08), applicato questa volta alle risultanti allo stato limite ultimo:

dove z è il braccio di leva interno tra la risultante di compressione nel calcestruzzo e la risultante di trazione nell’acciaio. In condizioni correnti di armatura, z assume indicativamente un valore vicino a 0,9d — un’approssimazione didattica diffusa, non un dato normativo fisso (varia leggermente con la percentuale di armatura e la geometria della sezione), ma che richiama in modo diretto il coefficiente η ≈ 0,9 già incontrato nel metodo tabellare MTA (tavola 09): due metodi diversi, la stessa proporzione geometrica di fondo.

Quando sforzo normale e momento flettente agiscono insieme (pressoflessione, G4), la verifica del cemento armato segue lo stesso principio concettuale di G4 — piccola vs grande eccentricità, e = M/N — ma applicato alla sezione parzializzata e ai materiali non lineari di questa lezione.

Il risultato si rappresenta con un dominio di resistenza N-M: una curva nel piano (N, M) che delimita tutte le combinazioni di sforzo normale e momento flettente che la sezione è in grado di sopportare. Una coppia (N_Ed, M_Ed) interna al dominio è verificata; una coppia esterna al dominio no.

Quattro problemi per verificare la comprensione degli argomenti della lezione.

• Il calcestruzzo resiste bene a compressione ma non reagisce a trazione (come la muratura di G4); l’acciaio d’armatura (oggi tipicamente B450C, f_yk=450 N/mm²) copre proprio questa debolezza
• La sezione di cemento armato è una sezione eterogenea per costruzione: due materiali diversi che collaborano, a differenza dei materiali omogenei (H1) o anisotropi (H2) visti finora
• Modello lineare MTA: entrambi i materiali in campo elastico, sezione trasformata in una sezione omogeneizzata tramite il coefficiente n = E_s/E_c (indicativamente n≈15)
• La sezione inflessa si calcola con il metodo di Navier (applicato alla sezione omogeneizzata) o, in modo equivalente, con il metodo della coppia interna (M = C·z = T·z)
• Il metodo tabellare raccoglie i passaggi algebrici in due coefficienti r e η (η ≈ 0,9), dando le formule di progetto d=r√(M/b) e A_s≈M/(0,9·d·σ_s)
• Modello non lineare MSL: diagramma parabola-rettangolo per il calcestruzzo (f_cd=α_cc·f_ck/γ_c, con α_cc≈0,85, γ_c≈1,5) e modello elastico-perfettamente plastico per l’acciaio (f_yd=f_yk/γ_s, con γ_s≈1,15, diverso dal γ_M0 dell’acciaio da carpenteria)
• SLU a flessione: sezione parzializzata (cls teso non reagente), asse neutro dall’equilibrio C=T, rottura duttile preferita (snervamento dell’acciaio prima del collasso del calcestruzzo), M_Rd=A_s·f_yd·z con z≈0,9d indicativo
• SLU a pressoflessione: verifica tramite dominio di resistenza N-M, generalizzazione del confronto puntuale σ≤f_d usato nelle lezioni precedenti