Tensioni Normali

Nella tavola G1 abbiamo imparato a calcolare N, V e M in ogni sezione di un elemento strutturale. Ma N, V e M sono risultanti: descrivono l’effetto complessivo delle forze scambiate attraverso la sezione, non come quelle forze sono distribuite al suo interno.

Per progettare una sezione — cioè per scegliere una forma e un materiale capaci di resistere — non basta conoscere la risultante: serve sapere quanto “lavora” ogni singola fibra di materiale, punto per punto. Questa intensità locale di forza per unità di superficie è la tensione, ed è l’oggetto di questa tavola e delle prossime.

Si isola, all’interno della sezione, un’area elementare infinitesima dA attorno a un punto qualsiasi. La forza elementare che la parte soppressa esercita su dA, divisa per l’area stessa, definisce la tensione in quel punto.

Le azioni interne non sono altro che la somma, estesa a tutta la sezione, degli effetti di ogni tensione elementare σ dA. Il legame è quindi un’integrazione sull’area A della sezione.

La prima equazione dice che N è semplicemente la somma di tutte le tensioni normali sull’area. La seconda dice che M è la somma dei momenti che ciascuna tensione elementare produce rispetto al baricentro, a distanza y dall’asse neutro.

L’ipotesi fondamentale della teoria tecnica della trave — verificata sperimentalmente con ottima approssimazione — è che le sezioni piane e perpendicolari all’asse, prima della deformazione, restano piane e perpendicolari all’asse anche dopo la deformazione.

Una sezione, cioè, non si “curva” né si “gonfia”: si limita a ruotare rigidamente attorno a un asse — l’asse neutro — e a traslare. Da questa semplice ipotesi geometrica discende che l’allungamento (e quindi, per un materiale elastico, la tensione σ) di ogni fibra è proporzionale alla sua distanza dall’asse neutro: nulla sull’asse, massima alle fibre più lontane.

Quando l’unica azione interna presente è lo sforzo normale N, applicato nel baricentro della sezione, l’ipotesi di Bernoulli-Navier porta al caso più semplice possibile: la sezione trasla senza ruotare, e la tensione è uniforme su tutta l’area.

Ogni fibra della sezione è sollecitata dalla stessa tensione σ, di trazione se N è positivo, di compressione se N è negativo — coerentemente con la convenzione di segno di N vista nella tavola G1.

Si parla di flessione retta quando il momento flettente agisce nel piano di un asse principale d’inerzia della sezione (per una sezione simmetrica, un asse di simmetria). In questo caso, per Bernoulli-Navier, la sezione ruota attorno all’asse neutro — che coincide con l’asse baricentrico perpendicolare al piano di flessione — e la tensione varia linearmente con la distanza y da quell’asse.

È la cosiddetta formula di Navier: I è il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse neutro (tavola E2), y la distanza — con segno — del punto considerato da quell’asse. La tensione è nulla sull’asse neutro, cresce linearmente allontanandosene, ed è di segno opposto sui due lati: compressione da una parte, trazione dall’altra.

Ai fini della verifica di resistenza interessa soprattutto la tensione massima, che si verifica nelle fibre più lontane dall’asse neutro — i cosiddetti lembi estremi della sezione, a distanza y_max.

Il rapporto I/y_max si chiama modulo di resistenza a flessione W (o W_n, dal testo di riferimento): è una grandezza puramente geometrica, che raccoglie in un solo numero l’attitudine di una sezione a resistere alla flessione. Si misura in m³ (o cm³, mm³): un momento d’inerzia diviso una lunghezza.

Dalle formule del momento d’inerzia (tavola E2), dividendo per y_max, si ricavano i moduli di resistenza delle forme più comuni.

Si ha flessione deviata quando il momento flettente M agisce in un piano che non coincide con nessuno dei due assi principali d’inerzia della sezione: è il caso, per esempio, di un carico verticale su una sezione ruotata, o di un carico obliquo su una sezione qualsiasi.

In questi casi l’asse neutro non è più perpendicolare al piano del carico, e la formula di Navier a un solo termine non basta più. Si ricorre allora alla sovrapposizione degli effetti, già usata più volte nel corso (F1): si scompone M nelle sue due componenti M_x e M_y rispetto ai due assi principali, si calcolano separatamente gli effetti di ciascuna come flessione retta, e si sommano.

dove α è l’angolo tra il piano di M e l’asse principale forte (x).

Sommando i due contributi di flessione retta, in un punto generico di coordinate (x, y) rispetto al baricentro, la tensione normale totale vale:

Per il calcolo pratico della tensione massima, quando interessa solo il suo valore nel punto più sollecitato, è spesso sufficiente sommare i due valori massimi in modulo:

Nella flessione retta l’asse neutro coincide con l’asse baricentrico perpendicolare al piano del momento. Nella flessione deviata questo non è più vero: l’asse neutro n è, per definizione, il luogo dei punti della sezione a tensione nulla (σ = 0), e in generale risulta ruotato rispetto all’asse di sollecitazione s (la direzione del carico).

Un modo pratico per individuarlo, utile anche per via grafica: si cerca, lungo il perimetro della sezione, almeno un punto in cui il contributo di trazione dovuto a un momento è uguale in modulo al contributo di compressione dovuto all’altro. In quel punto σ è nulla; l’asse neutro passa per quel punto e per il baricentro G.

A parità di area della sezione (quindi, a parità di materiale impiegato e di peso), il modulo di resistenza W — e con esso la resistenza a flessione — dipende fortemente da come quell’area è distribuita, non solo da quanto vale.

Come visto in E2 per il momento d’inerzia, allontanare l’area dall’asse neutro fa crescere I con il quadrato della distanza; poiché W = I/y_max, anche W cresce se l’area si concentra lontano dall’asse, purché non si allontani troppo anche y_max. È esattamente il principio su cui si basano i profilati a doppio T (IPE, HE): due ali larghe e lontane dall’asse neutro, collegate da un’anima sottile che serve solo a tenerle insieme e ad assorbire il taglio.

Il ragionamento della tavola precedente vale per un momento allineato con l’asse forte della sezione. Ma un profilato ottimizzato per la flessione retta — come il doppio T — è tipicamente molto meno efficiente rispetto all’altro asse (quello debole, y): proprio perché l’area è concentrata lontano dall’asse x, è anche vicina all’asse y, dove quindi W_y risulta piccolo.

Se il carico non è perfettamente allineato con l’asse forte — per un errore di posa, per un vincolo che non impedisce la rotazione della sezione, o semplicemente perché il carico è obliquo — la quota di momento che finisce sull’asse debole (M_y) produce tensioni sproporzionatamente alte rispetto alla sua entità, proprio a causa del piccolo W_y.

Due profilati IPE 160 affiancati (ciascuno con modulo di resistenza proprio W_x0 = 109 cm³) formano una sezione composta soggetta a un momento flettente retto M_x = 50 kN·m. Qual è la tensione massima?

Affiancando i due profilati, il momento d’inerzia della sezione composta raddoppia (per E2, i momenti d’inerzia di parti che condividono lo stesso asse baricentrico si sommano), mentre la distanza y_max dall’asse neutro resta la stessa di un solo profilato. Il modulo di resistenza raddoppia quindi anch’esso:

Un corrimano a sezione circolare (raggio R = 4 cm), appoggiato agli estremi su una luce di 1,50 m, riceve un carico orizzontale uniformemente distribuito di 1,2 kN/m dovuto alla spinta delle persone. Trascurando il peso proprio, qual è la tensione massima dovuta a M?

Il momento è retto ed è massimo in mezzeria:

Il modulo di resistenza della sezione circolare è identico rispetto a qualsiasi diametro (per simmetria polare):

Stesso corrimano, stesso schema e stesso carico orizzontale dell’esercizio precedente, ma con sezione rettangolare 6 × 8 cm e tenendo conto anche del peso proprio, valutato in 0,04 kN/m verticale. Qual è la tensione massima?

Il peso proprio, verticale, genera un momento M_x attorno all’altro asse principale, anch’esso massimo in mezzeria:

La sezione di mezzeria è la più sollecitata, perché vi agiscono contemporaneamente M_x,max (peso proprio) e M_y,max = 0,3375 kN·m (spinta orizzontale, tavola 15): è un caso di doppia flessione, in cui la tensione massima, nel punto dove i due contributi si sommano, vale:

Con W_x = 6·8²/6 = 64 cm³ e W_y = 8·6²/6 = 48 cm³:

Per la stessa sezione rettangolare dell’esercizio precedente, in doppia flessione, si chiede di individuare l’asse di sollecitazione s, l’asse neutro n e il diagramma completo delle tensioni.

L’asse di sollecitazione s coincide con la retta d’azione del carico risultante p, ottenuto componendo il carico verticale (peso proprio) e quello orizzontale (spinta): la sua direzione è quindi quella della risultante vettoriale dei due carichi distribuiti.

L’asse neutro n, come visto nella tavola 11, si trova per via grafica individuando un punto della sezione a tensione nulla. Lungo il lato inferiore del rettangolo, per esempio, la tensione dovuta a M_y è costante e di trazione (0,23 N/mm²), mentre quella dovuta a M_x varia da 0 a 5,27 N/mm²: nel punto in cui la componente di compressione di M_x eguaglia in modulo la trazione di M_y (0,23 N/mm²), la tensione totale è nulla. L’asse neutro passa per quel punto e per il baricentro G.

Una trave a sezione UPN 100, appoggiata agli estremi su una luce di 3,00 m, riceve un carico verticale uniforme di 3 kN/m, allineato con l’asse forte della sezione (flessione retta). Qual è la tensione massima?

Il modulo di resistenza della sezione, letto dalle tabelle dei profilati commerciali, vale W_n = W_x = 41,1 cm³:

Stessa trave, stesso carico dell’esercizio precedente, ma con la sezione UPN 100 ruotata di 20° rispetto alla posizione corretta: il momento flettente, sempre M = 3,375 kN·m, risulta ora deviato rispetto agli assi principali. Qual è la tensione massima?

Scomponendo M nelle due direzioni principali:

I moduli di resistenza, dalle tabelle del profilato: W_x = 41,1 cm³ (asse forte), W_y = 8,45 cm³ (asse debole, molto più piccolo). La tensione massima:

• Le tensioni descrivono come le azioni interne (N, M) si distribuiscono punto per punto sulla sezione: σ (tensione normale) da N e M, τ (tangenziale) da V
• L’ipotesi di Bernoulli-Navier: le sezioni piane restano piane dopo la deformazione, quindi σ varia linearmente con la distanza dall’asse neutro
• Sforzo normale semplice: σ = N/A, uniforme su tutta la sezione
• Flessione retta (formula di Navier): σ = M·y/I, nulla sull’asse neutro, massima ai lembi estremi
• Il modulo di resistenza W = I/y_max raccoglie la geometria della sezione: σ_max = M/W
• A parità di area, allontanare il materiale dall’asse neutro (come nei profilati a doppio T) aumenta W e quindi la resistenza a flessione
• Flessione deviata: quando M non è allineato a un asse principale, si scompone in M_x e M_y e si sovrappongono gli effetti: σ_max = M_x/W_x + M_y/W_y
• Nella flessione deviata l’asse neutro non coincide più con l’asse del momento: si individua come luogo dei punti a tensione nulla
• Una sezione ottimizzata per la flessione retta (W_x grande) può avere un W_y molto piccolo: se il carico non è ben allineato, le tensioni possono crescere di molto — anche di parecchie volte, come visto nell’esercizio della tavola 19