Tensioni Tangenziali e Formula di Jourawski

Finora abbiamo studiato le tensioni σ, perpendicolari alla sezione, generate dalla forza normale e dal momento (L1-L5). Il taglio V produce un altro tipo di tensione: la tensione tangenziale τ.

Quasi mai un elemento inflesso è sollecitato dal solo momento: dove il momento cambia da una sezione all’altra c’è anche il taglio, perché dM/dx = V (G1). In una trave appoggiata con carico uniforme il taglio è massimo proprio agli appoggi, dove il momento è nullo: lì le τ sono la sollecitazione che comanda. Per questo si dimensionano gli appoggi e si verificano le giunzioni (chiodi, bulloni, saldature, colle) con le tensioni tangenziali.

La tensione tangenziale giace nel piano della sezione: è parallela alla sezione, non perpendicolare come σ. Non allunga le fibre, le fa scorrere una sull’altra.

• Risultante: la somma delle τ su tutta la sezione, ∫τ dA, è il taglio V. Per le σ la somma è invece la forza normale N
• Verso: le τ di una sezione hanno lo stesso verso del taglio V. In tutta la lezione si lavora con i valori assoluti, perché ci interessa quanto vale τ e non il segno
• Unità: come per σ, 1 MPa = 1 N/mm² = 1000 kPa. Con V in N e le lunghezze in mm si ottiene τ direttamente in MPa

Il modo più semplice di ripartire il taglio è supporre che τ sia la stessa in ogni punto: la tensione tangenziale media è il taglio diviso per l’area, τm = V/A.

Con V = 20 kN su una sezione rettangolare 120 × 240 mm (A = 28 800 mm²) si ottiene τm = 20 000 / 28 800 = 0,69 MPa. È un valore comodo, ma è una media: la risultante ∫τ dA = V è giusta, la distribuzione no. Vedremo che nel rettangolo la tensione in G vale 1,5 volte la media.

• A cosa serve: per una stima rapida dell’ordine di grandezza e per verificare, a colpo d’occhio, un risultato più preciso (τmax non può essere minore di τm)
• Quando è accettabile: nei profilati a doppio T quasi tutto il taglio passa nell’anima e le τ lì sono quasi uniformi: si usa τ ≈ V/Aw con Aw area dell’anima (tavola 12). Per un rettangolo, invece, usare τm significa sottostimare del 33% il valore massimo

Una tensione tangenziale non cambia la lunghezza di un’elemento ma ne distorce gli angoli. L’angolo di cui un angolo retto si deforma è lo scorrimento γ.

Per gli angoli piccoli γ (in radianti) è lo spostamento relativo δ delle due facce diviso la loro distanza h. La legge di Hooke per il taglio ha la stessa forma di quella normale, con il modulo di elasticità tangenziale G al posto di E; per i materiali isotropi G dipende da E e dal coefficiente di Poisson ν (L1).

Le tensioni di scorrimento sono le τ che agiscono sui piani longitudinali di una trave inflessa e che impediscono a strati sovrapposti di scorrere l’uno sull’altro. Si pensi a due travetti 100 × 50 mm appoggiati uno sull’altro (altezza totale 100 mm): se non sono collegati, ciascuno si inflette per conto suo e le estremità si sfalsano (scalino δ della figura). Se sono incollati o chiodati la trave è una sola, 100 × 100 mm, e rispetto ai due travetti separati la resistenza a flessione raddoppia (W = 166 667 mm³ invece di 83 333) e la rigidezza quadruplica (I = 8,33·10⁶ mm⁴ invece di 2,08·10⁶).

In ogni punto le tensioni tangenziali su due piani perpendicolari tra loro sono uguali e convergono (o divergono) in due spigoli opposti dell’elemento: τ = τ’.

Si isola un elementino di lati dx, dy e spessore dz. Sulle facce verticali agisce τ, sulle orizzontali τ’. Le forze sono τ·dy·dz (facce verticali) e τ’·dx·dz (facce orizzontali). Le due forze di ogni coppia sono uguali e opposte: l’equilibrio alla traslazione è già soddisfatto. Resta l’equilibrio alla rotazione: le due forze verticali formano una coppia di momento τ·dy·dz·dx, le due orizzontali una coppia opposta di momento τ’·dx·dz·dy. Uguagliando i due momenti, dx·dy·dz si semplifica e resta τ = τ’.

• Sezione e piano longitudinale: la τ verticale che agisce sulla sezione è uguale alla τ orizzontale che agisce sul piano longitudinale che passa per lo stesso punto. È il legame tra le τ di taglio e le tensioni di scorrimento della tavola 04
• Lembi liberi: sul lembo superiore o inferiore di una trave non ci sono carichi tangenziali, quindi sul piano orizzontale del lembo τ’ = 0. Per reciprocità è nulla anche la τ verticale sulla sezione in quel punto: ai lembi il diagramma di τ si annulla
• Spigoli: per lo stesso motivo nei vertici di una sezione rettangolare le τ sono nulle: la τ di torsione di G3 si annulla agli spigoli

Le τ non sono uniformi perché dipendono da quanta parte di sezione sta “sopra” il punto considerato: la parte che deve trasferire la sua variazione di forza normale al resto della trave.

Si isola un concio di lunghezza dx, tra due sezioni con momenti M e M + dM, e lo si taglia con una corda parallela all’asse neutro, alla quota y, di larghezza b. Sia A* la parte di sezione al di là della corda (nella figura quella superiore) e S il suo momento statico rispetto all’asse neutro: S = ∫ y’ dA, esteso ad A*.

• Forza sulle due facce. Per la formula di Navier (L2) σ = M·y’/I. La risultante su A* vale N = (M/I)·∫y’ dA = M·S/I sulla faccia di sinistra e N + dN = (M + dM)·S/I su quella di destra. La differenza è dN = dM·S/I
• Equilibrio della parte A*. Le due forze normali non si equilibrano: la differenza dN deve essere trasmessa dalla parte di sezione sottostante attraverso la corda, con una forza tangenziale T = τ·b·dx (la τ agisce sulla superficie b·dx del taglio). Quindi τ·b·dx = dM·S/I
• Si sostituisce dM = V·dx (G1) e si semplifica dx: ne esce la formula di Jourawski della tavola successiva. Il risultato dipende dalla quota y solo attraverso S(y) e b(y)

Dalla condizione di equilibrio del concio si ottiene la formula di Jourawski per la tensione tangenziale alla quota y.

Controllo delle unità: N·mm³ / (mm⁴·mm) = N/mm² = MPa. Il prodotto q = τ·b = V·S/I è il flusso di taglio: la forza per unità di lunghezza che passa attraverso la corda, in N/mm. Serve per dimensionare le giunzioni (tavola 11).

Nella sezione rettangolare b × h la parte sopra la corda è un rettangolo di altezza (h/2 − y) e baricentro a (h/2 + y)/2 dall’asse neutro: il momento statico è un’espressione semplice, parabolica in y.

• Ai lembi (y = ±h/2) la parte oltre la corda ha area zero e quindi S = 0
• In G (y = 0) S è massimo: Smax = b·h²/8, la metà del momento statico dell’intera mezza sezione
• La corda b è costante per il rettangolo: tutta la variazione di τ viene da S(y). Per la sezione a T o a doppio T anche b cambia con y e τ presenta dei salti (tavola 11)

Sostituendo S(y) e I = b·h³/12 nella formula di Jourawski la τ nel rettangolo risulta una parabola: nulla ai lembi, massima in G, con τmax = 1,5·V/A.

• Il fattore 1,5 è il rapporto tra il massimo e il valore medio di una parabola: il diagramma di τ ha la stessa area (la stessa risultante V) del rettangolo di altezza τm
• Complementarità con σ: la tensione normale è massima ai lembi e nulla in G, la tangenziale è nulla ai lembi e massima in G. I due massimi non cadono mai nello stesso punto
• Un controllo che non fallisce: la somma delle τ sulla sezione, ∫τ·b·dy, deve dare V. Nel rettangolo è (2/3)·τmax·A = V

Trave in legno 120 × 240 mm, luce L = 4,00 m, carico uniforme q = 10 kN/m (peso proprio compreso, dato didattico). Si calcolano le τ nella sezione di appoggio e si confrontano con le σ di mezzeria.

Dove cadono i massimi: il massimo di τ è sugli appoggi e in G; il massimo di σ è in mezzeria e ai lembi. Sono due verifiche in due punti diversi della trave e della sezione.

Quando una sezione è composta da pezzi collegati (chiodi, viti, bulloni, saldature, colla) la giunzione deve trasmettere il flusso di taglio q = V·S/I, dove S è il momento statico della parte collegata rispetto all’asse neutro della sezione composta.

Trave a T formata da un’ala 200 × 40 mm inchiodata a un’anima 40 × 200 mm, soggetta a V = 8 kN (dati didattici). Il baricentro e l’inerzia della sezione composta si ricavano con i metodi di E1 ed E2.

• Passo variabile: se V varia lungo la trave, varia anche q = V·S/I e il passo dei chiodi: più fitti dove il taglio è maggiore (vicino agli appoggi), più radi in mezzeria
• Capacità del chiodo: il valore R di un collegamento in legno o in acciaio si determina con la normativa (EC5, EC3, NTC), da verificare sul testo vigente. Qui R è un dato inventato per fare il conto

Il rapporto k = τmax/τm tra il massimo e la media dipende dalla forma della sezione: rettangolo 1,5, cerchio pieno 4/3, tubo circolare sottile 2.

• Cerchio: la corda varia con y e anche S, ma il risultato è ancora una parabola: τ(y) = V·(R² − y²)/(3I), con τmax = 4V/(3πR²) = (4/3)·V/A in G. È un valore medio sulla corda, tra le ipotesi di Jourawski
• Tubo sottile: la τ è quasi costante nello spessore s e varia lungo la parete; è massima sull’asse neutro e nulla in alto e in basso. Il diagramma della figura è il suo andamento lungo la parete
• Profilati a I: le ali portano quasi solo la flessione, l’anima quasi tutto il taglio. L’ordine di grandezza V/Aw si ottiene dalla τm dell’anima; il valore esatto viene dalla formula di Jourawski con S del profilato (tabelle del profilario)

Jourawski è una teoria approssimata ma affidabile per le travi snelle. Le avvertenze che seguono servono a capire quando fidarsi e quando no.

• τ costante sulla corda: è un’ipotesi. In realtà la τ varia un po’ lungo la larghezza e per sezioni tozze (altezza non molto maggiore della larghezza) l’errore cresce; per sezioni alte e strette è modesto
• Sezione che non resta piana: il taglio provoca ingobbamento (L2). Se la trave è snella la flessione secondo Navier-Bernoulli rimane valida e l’effetto del taglio sulle σ si trascura
• Dove passa V: la formula vale se il taglio agisce nel piano di simmetria, o più in generale passa per il centro di taglio. Per sezioni aperte non simmetriche (profilo a C, angolare) il taglio fuori dal centro di taglio provoca anche torsione (G3)
• σ e τ nello stesso punto: il massimo di τ è in G (σ = 0) e il massimo di σ è ai lembi (τ = 0): le due verifiche si fanno spesso separatamente. Nei punti intermedi, ad esempio al raccordo anima-ala, coesistono e servono criteri di resistenza combinati (oltre questa lezione, G3)
• Verifica normativa (ordini di grandezza, da verificare sul testo vigente): legno τd ≤ fv,d (EC5); acciaio VEd ≤ Vc,Rd = Av·fyk/(√3·γM0) con Av area resistente a taglio, circa l’anima (NTC 2018, §4.2.4); calcestruzzo armato con staffe (H4)
• Controllo sul risultato: ∫τ·b·dy deve dare V e τmax non può essere minore di τm

Cinque problemi per verificare la comprensione degli argomenti della lezione. Dati inventati a scopo didattico.

Risultati per il controllo

• Problema 1. τm = 60 000/80 000 = 0,75 MPa; τmax = 1,5·τm = 1,125 MPa (≈ 1,13); a y = 100 mm: τ = 1,125·(1 − 4·100²/400²) = 0,84 MPa. Con Jourawski: S = 100·(200² − 100²) = 3,0·10⁶ mm³, I = 1,0667·10⁹ mm⁴, τ = 60 000·3,0·10⁶/(1,0667·10⁹·200) = 0,84 MPa
• Problema 2. h ≥ 1,5·V/(b·τamm) = 1,5·90 000/(250·1,5) = 360 mm. Con h = 360 mm: τmax = 1,5·90 000/(250·360) = 1,50 MPa, uguale al limite
• Problema 3. S = 100·60·30 = 180 000 mm³, I = 100·120³/12 = 14,4·10⁶ mm⁴; q = 4000·180 000/14,4·10⁶ = 50 N/mm; τ = q/b = 0,50 MPa; p ≤ 1500/50 = 30 mm
• Problema 4. A = π·150² = 70 686 mm²; τm = 1,41 MPa; τmax = (4/3)·τm = 1,89 MPa, in G (sull’asse neutro, sul diametro orizzontale)
• Problema 5. Il lembo è libero: sul piano orizzontale del lembo non agiscono forze tangenziali, quindi τ’ = 0. Per la reciprocità τ = τ’, perciò anche la τ verticale della sezione, nel punto del lembo, è nulla. Il taglio V è trasmesso dalle τ degli strati sottostanti: la parabola passa da 0 ai lembi a 1,5·V/A in G

• La tensione tangenziale τ giace nel piano della sezione, è generata dal taglio V e ha per risultante V; si misura in MPa = N/mm². La media è τm = V/A
• Scorrimento: γ = δ/h, legge elastica τ = G·γ, con G = E/(2(1 + ν)). Le tensioni di scorrimento sono le τ sui piani longitudinali: impediscono lo scivolamento di strati sovrapposti
• Reciprocità: le τ su piani perpendicolari sono uguali (τ = τ’) e convergono in due spigoli opposti. Sui lembi liberi e negli spigoli le τ sono nulle
• Variazione lungo la sezione: dall’equilibrio del concio, τ·b·dx = dN = dM·S/I; con dM = V·dx si ottiene la formula di Jourawski
• τ(y) = V·S(y) / (I·b(y)), con S momento statico della parte oltre la corda rispetto all’asse neutro; flusso di taglio q = τ·b = V·S/I (N/mm)
• Rettangolo: S(y) = (b/2)(h²/4 − y²), τ parabolica, nulla ai lembi, massima in G: τmax = 1,5·V/A
• Altre sezioni: cerchio pieno τmax = (4/3)·V/A, tubo sottile τmax = 2·V/A; sezioni con b variabile (T, doppio T) hanno salti di τ e il taglio è portato dall’anima
• Giunzioni: chiodi, bulloni o saldature trasmettono q; passo p ≤ R/q. Se V varia, p varia
• Limiti: τ costante sulla corda è approssimata; V per il centro di taglio; σ e τ si verificano separatamente (massimi in punti diversi); resistenze e coefficienti da verificare sul testo vigente