La Flessione Deviata

Nella lezione L2 abbiamo ricavato la formula di Navier per la flessione retta. Qui togliamo l’ipotesi che l’asse di sollecitazione sia un asse principale e vediamo che cosa cambia.

Il metodo è lo stesso della lezione precedente: geometria della deformazione (sezioni piane), legge di Hooke ed equilibrio della sezione. Cambia un solo dato di partenza: il momento flettente non agisce più in un piano che contiene un asse principale d’inerzia. Per questo i concetti da richiamare sono tre: il momento d’inerzia rispetto a due assi (E2), il momento centrifugo Ixy, che si annulla per gli assi principali, e la sovrapposizione degli effetti (F1), valida finché il materiale è elastico lineare (L1).

Si ha flessione deviata quando l’asse di sollecitazione non coincide con nessun asse principale d’inerzia della sezione.

In L2 abbiamo visto che il piano di sollecitazione contiene l’asse della trave e la direzione dei carichi e che la sua traccia sulla sezione è l’asse di sollecitazione s, perpendicolare al vettore momento M. Se s coincide con un asse principale la flessione è retta; se forma con gli assi principali un angolo qualsiasi α diverso da 0° e da 90° la flessione è deviata.

• Assi principali: x e y passano per il baricentro G e sono i due assi rispetto ai quali il momento centrifugo è nullo (Ixy = 0). Per una sezione con un asse di simmetria uno di essi è l’asse di simmetria; per il rettangolo sono i due assi di simmetria
• Convenzione degli assi: y è positivo verso il basso, come in L2; x è positivo verso destra. Ix = ∫y² dA è l’inerzia per la flessione nel piano verticale, Iy = ∫x² dA per quella nel piano orizzontale
• Quando capita: un arcareccio di tetto la cui sezione è orientata secondo la falda inclinata mentre i carichi (peso proprio, neve) sono verticali; un carico obliquo su una sezione qualsiasi; una trave con più carichi in piani diversi; un profilato posato non in asse

Nella flessione retta la trave si inflette nel piano del carico. Nella deviata l’asse deformato devia dal piano del carico.

In L2 l’asse deformato era una curva piana contenuta nel piano di sollecitazione. Se s non è principale succede una cosa meno intuitiva: la sezione ruota attorno all’asse neutro n, la trave si incurva nella direzione perpendicolare a n, e questa direzione non è quella del carico. La trave si sposta anche di lato, in modo più marcato verso l’asse di minima inerzia.

È il motivo per cui il nome è “deviata”: la deformazione e il carico non sono nello stesso piano. Più il rapporto Ix/Iy è grande (sezione molto più alta che larga) e più la trave tende a spostarsi di lato anche per carichi poco inclinati. Il confronto con i numeri è nell’esempio svolto della tavola 12.

Primo passo: il momento M si scompone nelle sue componenti secondo gli assi principali.

Il vettore M è perpendicolare ad s. Se s forma l’angolo α con l’asse y, il vettore M forma lo stesso angolo α con l’asse x. Le sue componenti sono:

• Mx è la componente che inflette la trave nel piano verticale: le fibre si allungano o si accorciano in funzione della distanza y dall’asse x. Con Mx > 0 sono tese le fibre con y > 0, cioè le inferiori
• My è la componente che inflette la trave nel piano orizzontale: conta la distanza x dall’asse y. Con My > 0 sono tese le fibre con x > 0, cioè quelle a destra
• Segni: li fissiamo con gli effetti sulle fibre, come in L2. Con questa convenzione, per α compreso tra 0° e 90°, Mx e My sono entrambi positivi e il vertice in basso a destra è il più teso
• Casi limite: per α = 0° è My = 0 e si ritrova la flessione retta di L2 (M = Mx); per α = 90° è Mx = 0 e c’è flessione retta attorno all’asse y

Se il materiale è elastico lineare, gli effetti di Mx e My si sommano.

Con la legge di Hooke (L1) le tensioni sono proporzionali alle deformazioni, e le deformazioni dipendono linearmente dagli spostamenti. Quindi l’effetto di due momenti applicati insieme è la somma degli effetti dei due momenti applicati separatamente. È il principio di sovrapposizione degli effetti, già usato in F1 per le forze.

Ciascun momento, preso da solo, dà una flessione retta rispetto a un asse principale: per Mx l’asse neutro è l’asse x e per My è l’asse y. Si possono quindi applicare due volte le formule di L2 e sommare le tensioni punto per punto.

Come in L2, partiamo dalla geometria della deformazione e arriviamo alla tensione passando per Hooke e per l’equilibrio.

Geometria. Le sezioni restano piane (Bernoulli-Navier): l’allungamento di una fibra è una funzione lineare delle sue due coordinate. Con kx curvatura nel piano verticale e ky curvatura nel piano orizzontale:

Hooke. σ = E · ε = E · (ε0 + kx·y + ky·x). La tensione è lineare in x e in y.

Equilibrio alla traslazione. Nella flessione pura lo sforzo normale è nullo: N = ∫σ dA = E · (ε0·A + kx·Sx + ky·Sy) = 0. Con gli assi baricentrici i momenti statici Sx e Sy sono nulli, quindi ε0 = 0: l’asse neutro passa per il baricentro G, come in L2.

Equilibrio alla rotazione. Il momento delle forze elementari σ·dA rispetto agli assi x e y deve uguagliare Mx e My:

Compaiono i tre integrali geometrici Ix = ∫y² dA, Iy = ∫x² dA e Ixy = ∫x·y dA. Con assi principali il momento centrifugo è nullo (Ixy = 0) e le due equazioni si separano:

Sostituendo in σ = E·(kx·y + ky·x) il modulo E si semplifica:

La formula generale di Navier per la flessione deviata è la somma delle due formule della flessione retta.

• Mx, My: componenti del momento secondo gli assi principali (N·mm)
• x, y: coordinate del punto rispetto agli assi principali baricentrici (mm); x positiva a destra e y positiva verso il basso
• Ix, Iy: momenti d’inerzia rispetto agli assi principali (mm⁴); per il rettangolo b × h con h verticale, Ix = b·h³/12 e Iy = h·b³/12
• σ: tensione normale nel punto (MPa); positiva è trazione

La tensione varia linearmente nel piano della sezione ed è massima nel punto più lontano dall’asse neutro. Per una sezione rettangolare questo punto è un vertice, dove i due termini si sommano in modulo:

con Wx = Ix / (h/2) = b·h²/6 e Wy = Iy / (b/2) = h·b²/6. Nei quattro vertici i segni dei due termini sono:

L’asse neutro n è il luogo dei punti della sezione in cui la tensione è nulla.

Si pone σ = 0 nella formula generale:

È un’equazione di primo grado in x e in y senza termine noto: rappresenta una retta passante per l’origine, cioè per il baricentro G. Esplicitando y:

Con Mx = M·cos α e My = M·sen α, e semplificando M:

• Passa per G: per x = 0 si ha y = 0. Il baricentro non subisce deformazione (ε0 = 0 dalla tavola 06)
• Pendenza negativa: con y verso il basso, la retta sale verso destra. L’asse neutro attraversa i quadranti in alto a destra e in basso a sinistra e separa il vertice in basso a destra (teso) da quello in alto a sinistra (compresso)
• Il momento M non compare: la posizione di n dipende solo da α e dal rapporto Ix/Iy, non dall’intensità del carico
• Equivalente in termini di curvature: kx·y + ky·x = 0, quindi il rapporto ky/kx è la pendenza (in valore assoluto) dell’asse neutro

L’angolo β dell’asse neutro con l’asse x si ricava dalla pendenza dell’equazione precedente.

• Se Ix = Iy (quadrato, cerchio) è β = α: n resta perpendicolare a s e la flessione è retta (tavola 02)
• Se Ix > Iy (rettangolo con h > b e h verticale) è β > α: l’asse neutro si sposta verso l’asse y, quello di minima inerzia. La sezione ha più “facilità” a inflettersi nel piano orizzontale
• Per α = 0° o 90° si ha β = α: sono i due casi di flessione retta, in cui n coincide con x o con y
• Per Ix/Iy molto grande (sezioni molto alte e strette) basta un piccolo α per avere un β molto grande: per esempio con Ix/Iy = 4, α = 15° dà β = 47,0°

Valori per il rettangolo con h = 2b (Ix/Iy = (h/b)² = 4) a confronto con la sezione quadrata (Ix/Iy = 1):

Dall’asse neutro si risale ai punti con tensione massima di trazione e di compressione.

Il metodo è lo stesso della flessione retta, ma con la direzione di n al posto di quella di x:

• 1. Disegnare la sezione con gli assi principali x e y e fissare il verso dei segni (y in basso, x a destra, α da y)
• 2. Scomporre M in Mx = M·cos α e My = M·sen α, e calcolare Ix, Iy, Wx, Wy
• 3. Tracciare l’asse neutro con tan β = (Ix/Iy)·tan α, per G. La sezione risulta divisa in una zona tesa e una compressa
• 4. Cercare i punti più lontani da n sui due lati: per una sezione rettangolare sono due vertici opposti, per sezioni più complesse sono i punti di contatto delle tangenti a n
• 5. Calcolare le tensioni in quei punti con σ = Mx·y/Ix + My·x/Iy oppure, per il rettangolo, con σmax = Mx/Wx + My/Wy

Per un rettangolo, anche un piccolo angolo α può aumentare molto la tensione massima.

Per un rettangolo b × h con h verticale, ponendo σ0 = M/Wx la tensione che si avrebbe con α = 0°, si ha:

Infatti σmax = M·cos α / Wx + M·sen α / Wy e Wx / Wy = h/b.

• Con h/b = 2 e α = 5°: σmax / σ0 = cos 5° + 2·sen 5° ≈ 1,17, cioè un aumento del 17% con soli 5° di errore
• Con α = 15°: il fattore sale a ≈ 1,48 (+48%); è il caso dell’esempio svolto
• Più la sezione è alta e stretta (h/b grande) e più la tensione è sensibile a una piccola inclinazione: per questo le travi in legno alte e snelle vanno posate con cura
• Il massimo del fattore è √(1 + (h/b)²), raggiunto per tan α = h/b (per h/b = 2, α ≈ 63°): il caso più sfavorevole si ha per un’inclinazione elevata

Riprendiamo la trave dell’esempio di L2 (20 × 40 cm, M = 60 kN·m) ma con l’asse di sollecitazione inclinato di 15° sulla verticale.

• Passo 1 — Geometria (in mm). Ix = b·h³/12 = 200 × 400³ / 12 ≈ 1,067 × 10⁹ mm⁴; Iy = h·b³/12 = 400 × 200³ / 12 ≈ 2,667 × 10⁸ mm⁴. Wx = b·h²/6 ≈ 5,333 × 10⁶ mm³; Wy = h·b²/6 ≈ 2,667 × 10⁶ mm³. Ix/Iy = 4
• Passo 2 — Scomposizione di M. Mx = 60 · cos 15° = 57,96 kN·m; My = 60 · sen 15° = 15,53 kN·m
• Passo 3 — I due contributi. Mx/Wx = 57,96 × 10⁶ / 5,333 × 10⁶ = 10,87 MPa; My/Wy = 15,53 × 10⁶ / 2,667 × 10⁶ = 5,82 MPa
• Passo 4 — Tensioni nei vertici. In basso a destra σ = 10,87 + 5,82 = +16,69 MPa (trazione massima); in alto a sinistra −16,69 MPa (compressione massima); in alto a destra −10,87 + 5,82 = −5,04 MPa; in basso a sinistra +5,04 MPa
• Passo 5 — Asse neutro. tan β = (Ix/Iy)·tan α = 4 × tan 15° = 1,072, quindi β = 47,0°. L’equazione è y = −1,072 · x (in mm, con y verso il basso). Esce dalla sezione sui lati verticali, nei punti (x = ±100 mm, y = ∓107,2 mm)
• Passo 6 — Confronto con la flessione retta. Con α = 0° era σmax = 11,25 MPa (L2). Qui σmax = 16,69 MPa: +48% con solo 15° di inclinazione
• Passo 7 — Curvatura. kx = Mx/(E·Ix) = 4,94 × 10⁻⁶ mm⁻¹, ky = My/(E·Iy) = 5,29 × 10⁻⁶ mm⁻¹; κ = √(kx² + ky²) = 7,24 × 10⁻⁶ mm⁻¹, cioè ρ ≈ 138 m (con la flessione retta era ≈ 196 m). Direzione: ky/kx = 1,072 = tan β, in accordo con il passo 5
• Passo 8 — Controllo con la distanza da n. Il vertice in basso a destra (x = 100, y = 200 mm) dista da n d = y·cos β + x·sen β ≈ 209,6 mm. Con E·κ = 11 000 × 7,24 × 10⁻⁶ = 0,0796 MPa/mm si ottiene σ = 0,0796 × 209,6 ≈ 16,69 MPa, uguale al passo 4

Quattro problemi per verificare la comprensione degli argomenti della lezione. Dati inventati a scopo didattico.

• La flessione deviata si ha quando l’asse di sollecitazione s non coincide con nessun asse principale d’inerzia della sezione; in una sezione quadrata o circolare è impossibile, perché ogni asse è principale
• Nella deviata la trave si inflette nella direzione perpendicolare all’asse neutro, che non coincide con la direzione del carico
• Il momento si scompone in Mx = M·cos α e My = M·sen α secondo gli assi principali, con α angolo tra s e y (equivalente: tra M e x)
• Se il materiale è elastico lineare vale la sovrapposizione degli effetti: ogni componente dà una flessione retta e le tensioni si sommano
• Formula generale di Navier: σ = Mx·y/Ix + My·x/Iy, ricavata da ε = kx·y + ky·x, Hooke ed equilibrio alla rotazione; l’equilibrio alla traslazione porta n per G e Ixy = 0 separa le due flessioni
• Per il rettangolo la tensione massima è nel vertice più lontano da n: σmax = Mx/Wx + My/Wy
• Asse neutro: σ = 0 dà y = −(Ix/Iy)·tan α·x, retta per G; la sua inclinazione è tan β = (Ix/Iy)·tan α
• Se Ix > Iy è β > α: n si sposta verso l’asse di minima inerzia e pochi gradi di inclinazione fanno crescere molto la σmax (per h/b = 2: +17% a 5°, +48% a 15°)
• Con σ = E·κ·d la tensione è proporzionale alla distanza dall’asse neutro: i punti più sollecitati sono i più lontani da n