Tensioni Tangenziali

In G2 abbiamo visto come N e M generano tensioni normali σ, perpendicolari alla sezione. Restano da trattare le tensioni tangenziali τ, generate dal taglio V e dal momento torcente M_t (quest’ultimo accennato in G1, tavola 16, e mai ancora calcolato).

A differenza di σ, che agisce perpendicolarmente al piano della sezione, τ è contenuta nel piano della sezione: tende a far scorrere una parte di materiale rispetto all’altra, anziché allungarla o comprimerla. È il meccanismo che rende possibile, per esempio, avvitare un bullone o tagliare un foglio con le forbici.

Si consideri un cubetto elementare di materiale, con una tensione tangenziale τ su una delle sue facce. Per l’equilibrio alla rotazione del cubetto, su una faccia ortogonale a quella data, che condivide con essa uno spigolo, deve agire una tensione tangenziale della stessa intensità τ, orientata in modo che le due tensioni siano entrambe dirette verso lo spigolo comune, oppure entrambe in verso opposto.

È il principio di reciprocità delle tensioni tangenziali: τ non può esistere su una faccia senza una τ uguale, opportunamente orientata, sulla faccia ortogonale.

Si ha torsione semplice quando l’unica azione interna presente è il momento torcente M_t, che tende a far ruotare una sezione rispetto all’altra attorno all’asse dell’elemento.

Per la sezione circolare — l’unico caso in cui la trattazione è del tutto rigorosa — vale un’ipotesi analoga a quella di Bernoulli-Navier vista in G2: le sezioni piane restano piane, ma anziché ruotare rigidamente attorno a un asse trasversale (come nella flessione), ruotano rigidamente attorno all’asse longitudinale dell’elemento, senza deformarsi nel proprio piano.

La tensione tangenziale in un punto a distanza ρ dal centro, e la sua massima, alla distanza R dal bordo, valgono:

dove I_p è il momento d’inerzia polare della sezione (già incontrato in E2: I_p = I_x + I_y), e W_t = I_p/R è il modulo di resistenza a torsione, l’analogo del modulo di resistenza a flessione W visto in G2.

Un albero circolare pieno, diametro D = 60 mm, è soggetto a un momento torcente M_t = 1,2 kN·m. Qual è la tensione massima?

Per una sezione tubolare di forma qualsiasi (non necessariamente circolare), se lo spessore s è sottile rispetto alle altre dimensioni, si può assumere che τ sia costante nello spessore. In questo caso il calcolo diventa semplice ed esatto.

Isolando un elemento di superficie dA = s·dc lungo il contorno medio della sezione, la risultante delle forze elementari τ·s·dc deve fare equilibrio al momento torcente M_t. Integrando lungo tutto il contorno, e ricordando che l’integrale di r·dc lungo il contorno è il doppio dell’area Ω racchiusa dal contorno medio, si ottiene la formula di Bredt:

dove Ω è l’area racchiusa dal contorno medio della sezione (non l’area del materiale) e s lo spessore. Se lo spessore non è uniforme, la formula fornisce la τ massima in corrispondenza dello spessore minimo s_min.

Una sezione circolare cava, diametro interno 28 cm e diametro esterno 32 cm, soggetta a M_t = 24 kN·m, trattata come sottile (Ω = π·150² mm², s = 20 mm):

Una sezione tubolare rettangolare, dimensioni medie 14 × 18 cm e spessore variabile (minimo s_min = 1 cm), soggetta a M_t = 50 kN·m: con Ω = 14·18 = 252 cm²,

Le sezioni rettangolari piene, sotto torsione, non restano piane (si ingobbiscono): l’ipotesi della tavola 03 non vale più, e si ricorre a espressioni semi-empiriche, dovute a Saint-Venant.

Le linee di uguale tensione sono simmetriche rispetto alle due mediane della sezione. Lungo le diagonali, τ cresce da zero (baricentro) fino a un certo punto, poi decresce fino ad annullarsi negli spigoli — per il principio di reciprocità visto nella tavola 02, dove due bordi liberi si incontrano. Il valore massimo si trova invece nei punti medi dei lati più lunghi.

dove a è il lato maggiore, b il lato minore, e α un coefficiente — dovuto a Saint-Venant — che dipende dal rapporto a/b:

Una sezione rettangolare 15 × 30 cm è soggetta a un momento torcente di 0,8 kN·m. Qual è la tensione massima?

Con a = 300 mm (lato maggiore) e b = 150 mm: a/b = 2, da cui, dalla tabella della tavola 08, α = 4,07.

La formula della tavola 08 vale anche per sezioni aperte a parete sottile (a = larghezza, s = piccolo spessore, per cui α → 3): l’esperienza mostra che τ non cambia molto se una sezione rettangolare sottile viene “ripiegata” a formare un profilo a L, a C, a Z o simili, purché resti aperta.

dove a è la lunghezza media sviluppata della sezione e s il suo spessore. Per i profilati metallici non tubolari (IPE, UPN, angolari…), assimilabili a sezioni aperte di spessore sottile ma non uniforme, la formula si generalizza sostituendo il denominatore con la somma estesa a tutti i rettangoli che compongono il profilo, e il numeratore con lo spessore massimo, dove si concentra la tensione più alta:

Si immagini di praticare un taglio longitudinale nella sezione tubolare della tavola 07 (M_t = 24 kN·m, Ω = π·150² mm², s = 20 mm), rendendola aperta:

Un profilato IPE 220 è soggetto a M_t = 5 kN·m. Dalle tabelle del profilato, Σ(a_is_i³) = 20,91 cm⁴ e lo spessore massimo (dell’anima o dell’ala, secondo il profilo) s_max = 9,2 mm:

Il taglio V genera anch’esso tensioni tangenziali τ, ma con una distribuzione diversa da quella torsionale: non nulla al baricentro, e variabile secondo la forma della sezione. La formula che la descrive è dovuta a Jourawski.

dove: V è il taglio nella sezione (G1); I il momento d’inerzia dell’intera sezione (E2); b la larghezza della sezione nel punto considerato; S il momento statico, rispetto all’asse neutro, della sola parte di sezione compresa tra il punto considerato e il lembo estremo — esattamente la stessa grandezza definita in E1.

Poiché S è nullo ai lembi estremi della sezione (non c’è area “oltre” l’ultimo punto) e massimo in corrispondenza dell’asse neutro (dove la parte di sezione considerata è più estesa), la tensione τ da taglio è:

Nella maggior parte degli elementi reali, taglio V e momento flettente M non sono mai isolati: agiscono insieme in ogni sezione, come visto fin dalla tavola G1-06 (V_z = Σ_pY e M_z = Σ_pM sono calcolati nella stessa sezione, con lo stesso taglio idealmente sezionante).

Ogni punto della sezione è quindi sollecitato, in generale, sia da una tensione normale σ (dovuta a M, formula di Navier) sia da una tensione tangenziale τ (dovuta a V, formula di Jourawski) — due grandezze fisicamente diverse, calcolate con formule diverse, che agiscono nello stesso punto senza sostituirsi a vicenda.

Per una sezione rettangolare base b, altezza h, soggetta a taglio V, applicando la formula di Jourawski punto per punto si ottiene una distribuzione parabolica: nulla ai due lembi, massima sull’asse neutro.

dove A = b·h è l’area della sezione. Il fattore 1,5 (rispetto alla tensione media V/A) è il risultato diretto della forma parabolica del diagramma: il valore massimo di una parabola è 1,5 volte il suo valore medio.

Nella sezione a T la larghezza b non è costante: è grande nell’ala, stretta nell’anima. Poiché τ = V·S/(I·b), a parità di S la tensione è inversamente proporzionale a b: nel punto di passaggio tra ala e anima, dove b si riduce bruscamente, τ subisce un salto verso l’alto.

Il diagramma cresce quindi con discontinuità dall’ala (dove è basso, per la larghezza elevata) all’anima (dove sale rapidamente), raggiungendo il proprio massimo sull’asse neutro se questo cade nell’anima — come tipicamente accade in una sezione a T.

Nel profilo a doppio T (IPE, HE) il ragionamento della tavola 16 si applica a entrambe le ali: la tensione τ è bassa nelle ali (larghe) e sale, con un salto, nell’anima (stretta), dove si concentra la quasi totalità del taglio.

Per questo motivo, nella pratica corrente, si utilizza spesso una verifica approssimata e a favore di sicurezza, che trascura il contributo delle ali e assume che l’intero taglio sia assorbito uniformemente dall’anima:

Nella sezione rettangolare tubolare (cava), con due anime verticali, lo stesso principio si applica dividendo il taglio tra le due anime:

Per i profilati commerciali (IPE, HE, UPN…), come già per il modulo di resistenza a flessione W (G2, tavola 08) e per Σ(a_is_i³) nella torsione (tavola 10), i dati geometrici necessari alla verifica a taglio — area dell’anima, momento statico S, spessori — si leggono direttamente dalle tabelle del produttore, senza doverli ricalcolare da zero.

Quattro problemi per mettere alla prova le formule di questa tavola, uno per ciascun caso principale trattato.

• Il principio di reciprocità: τ su una faccia implica una τ uguale sulla faccia ortogonale; su un bordo libero τ è sempre nulla
• Torsione, sezione circolare: τ(ρ) = M_t·ρ/I_p, lineare dal centro (nulla) al bordo (massima); τ_max = M_t/W_t
• Sezioni chiuse sottili: formula di Bredt, τ = M_t/(2Ωs) — molto più efficienti a torsione delle sezioni aperte equivalenti
• Sezioni rettangolari: formula semi-empirica di Saint-Venant, τ_max = α·M_t/(ab²), τ nulla negli spigoli per reciprocità
• Sezioni aperte sottili e profilati: τ cresce enormemente rispetto alla stessa sezione chiusa (anche 20 volte) — le sezioni aperte sono poco adatte a resistere a torsione
• Taglio, formula di Jourawski: τ = V·S/(I·b), dove S è il momento statico (E1) della parte di sezione oltre il punto considerato
• Il taglio dà τ nulla ai lembi, massima sull’asse neutro — l’esatto opposto della σ da flessione
• Taglio e flessione coesistono in quasi ogni sezione reale, ma si verificano di norma separatamente, nei rispettivi punti di massimo
• Sezione rettangolare: τ_max = 1,5V/A (parabola); sezioni a T, doppio T e tubolari: quasi tutto il taglio è assorbito dall’anima, τ ≈ V/A_anima