Equilibrio degli Elementi Rigidi

Nella tavola D2 abbiamo scritto le condizioni di equilibrio di un sistema di forze: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0. Ma un corpo qualsiasi, lasciato libero, soddisfa queste equazioni solo per un caso particolare di forze applicate: in generale, un corpo libero non è in equilibrio, si muove.

Una struttura reale sta ferma perché è collegata al suolo (o ad altre parti della costruzione) tramite dei vincoli, che le impediscono di muoversi e che, per farlo, esercitano delle forze di reazione. Questa tavola affronta come si classificano i vincoli, quando un elemento vincolato è effettivamente in equilibrio, e come si calcolano le reazioni che i vincoli esercitano.

Un corpo rigido libero, nel piano, può muoversi in tre modi indipendenti: si dice che ha tre gradi di libertà.

Per essere in equilibrio stabile, un elemento strutturale deve avere tutti e tre questi movimenti impediti — né più, né meno, come vedremo nella tavola 06. Il compito dei vincoli è esattamente questo: sopprimere gradi di libertà.

Nel calcolo strutturale piano si usano tre tipi fondamentali di vincolo esterno, ciascuno caratterizzato da quali movimenti impedisce e da quale reazione esplica.

Si definisce grado di vincolo di un appoggio il numero di gradi di libertà che sopprime — che coincide con il numero di componenti di reazione incognite che il vincolo introduce nel calcolo.

I simboli della tavola 03 rappresentano un’idealizzazione. Nella realtà costruttiva, un appoggio è un dispositivo fisico — un cuscinetto, un tampone in neoprene, una piastra imbullonata — con un comportamento più complesso di quello schematizzato.

Un vincolo reale presenta sempre, in una certa misura: attrito (che si oppone anche al movimento che il vincolo dovrebbe lasciare libero), deformabilità (il vincolo stesso si deforma sotto carico), e giochi meccanici di montaggio. Un vincolo perfetto è l’idealizzazione usata nel calcolo: privo di attrito, rigido e indeformabile, capace di esplicare la reazione esattamente nella direzione teorica.

Un elemento rigido nel piano ha 3 gradi di libertà (tavola 02). Confrontando questo numero con la somma dei gradi di vincolo v degli appoggi applicati, si classifica il comportamento della struttura.

Il conteggio v = 3 è una condizione necessaria ma non sufficiente. Anche con il numero giusto di gradi di vincolo, una disposizione sbagliata degli appoggi può lasciare la struttura labile: si parla di vincoli non efficaci.

Ogni vincolo, impedendo un movimento, esplica una reazione vincolare: una forza (o un momento) nella stessa direzione del movimento impedito, di intensità tale da mantenere l’equilibrio.

È lo stesso principio di azione e reazione: la struttura preme sul vincolo con la forza che vorrebbe muoverla, e il vincolo restituisce una reazione uguale e contraria. Le reazioni sono incognite del problema — non sono note a priori come i carichi applicati (i cosiddetti carichi attivi) — e si determinano proprio imponendo le condizioni di equilibrio dell’intero elemento.

Un elemento rigido, soggetto sia ai carichi attivi sia alle reazioni vincolari, è in equilibrio quando sono soddisfatte contemporaneamente le tre equazioni cardinali della statica già viste nella tavola D2 — questa volta scritte sull’insieme completo delle forze esterne, attive e reattive:

Il procedimento per calcolare le reazioni di un elemento isostatico segue sempre lo stesso schema.

• 1. Isolare l’elemento e sostituire ogni vincolo con le reazioni incognite che gli competono (tavola 04)
• 2. Fissare una convenzione di segno per forze e momenti (tavola D1-06, D1-07) e mantenerla coerente
• 3. Scrivere le tre equazioni cardinali (ΣF_x=0, ΣF_y=0, ΣM=0) includendo carichi attivi e reazioni
• 4. Risolvere il sistema per le incognite

Alcuni accorgimenti pratici rendono il calcolo delle reazioni più rapido e meno soggetto a errori.

Impostazione del sistema di equilibrio

Conviene scegliere come polo per l’equazione dei momenti proprio il punto di applicazione di una reazione incognita (o il punto di concorrenza di due incognite): quella reazione ha braccio nullo rispetto al polo e sparisce dall’equazione (tavola D2-05), lasciando una sola incognita da calcolare direttamente.

Scelta del sistema di riferimento

Per elementi orizzontali conviene un riferimento con x lungo l’asse dell’elemento; per elementi inclinati, allineare gli assi x-y con la direzione dell’elemento (invece che con l’orizzontale-verticale assoluta) spesso scompone i carichi in modo più semplice, come già visto per la scomposizione delle forze (tavola D1-05).

Particolari disposizioni di carico

Una disposizione simmetrica di vincoli e carichi (stessa luce dai due appoggi, carico simmetrico rispetto alla mezzeria) implica reazioni uguali fra loro, individuabili per simmetria senza risolvere il sistema completo — la stessa scorciatoia già usata per il baricentro di sistemi simmetrici (tavola E1-06).

Principio di sovrapposizione degli effetti

Per più carichi applicati contemporaneamente, si possono calcolare le reazioni dovute a ciascun carico separatamente (con gli altri assenti) e poi sommare i risultati (tavola D2-13): spesso più semplice, dal punto di vista dei calcoli, che risolvere un’unica equazione con tutti i carichi insieme.

Accanto al metodo analitico (le tre equazioni cardinali), esiste un metodo grafico per determinare le reazioni vincolari, utile soprattutto come controllo visivo immediato del risultato analitico.

Nel caso più semplice — un elemento appoggiato su una cerniera e un carrello, soggetto a un solo carico concentrato — le due reazioni incognite (in direzione nota quella del carrello, di direzione da determinare quella della cerniera) si trovano chiudendo il poligono delle forze: si dispone il carico noto, poi si tracciano dagli estremi le rette parallele alle direzioni delle due reazioni; il punto in cui si incontrano chiude il poligono e fornisce modulo e verso di entrambe le reazioni.

• Un corpo rigido libero nel piano ha 3 gradi di libertà: due traslazioni e una rotazione
• I tre vincoli fondamentali: carrello (grado di vincolo 1), cerniera (grado di vincolo 2), incastro (grado di vincolo 3)
• I vincoli reali sono idealizzati come vincoli perfetti (senza attrito, rigidi) per il calcolo
• Confrontando il grado di vincolo totale v con 3: v<3 struttura labile, v=3 isostatica, v>3 iperstatica
• Il conteggio v=3 non basta: i vincoli devono anche essere efficaci — reazioni non tutte parallele, non tutte concorrenti in un punto
• Ogni vincolo esplica una reazione vincolare nella direzione del movimento impedito
• L’equilibrio si scrive con le tre equazioni cardinali ΣFx=0, ΣFy=0, ΣM=0 su carichi attivi e reazioni insieme
• Conviene scegliere il polo dei momenti nel punto di una reazione incognita per eliminarla dall’equazione, e verificare il risultato con una quarta equazione di controllo
• Simmetria di vincoli/carichi e sovrapposizione degli effetti semplificano spesso il calcolo
• Le reazioni si possono determinare anche con un metodo grafico, chiudendo il poligono delle forze