Geometria delle Sezioni — Baricentro

1.2 E1 — PCI, classe terza CAT

Geometria delle Sezioni

Come si distribuisce un’area nello spazio: massa totale, baricentro e momento statico — le basi geometriche su cui costruiremo, nelle prossime lezioni, il calcolo delle sollecitazioni interne.

Materia — Progettazione, Costruzione e Impianti Indirizzo — CAT, Costruzioni Ambiente e Territorio Durata — 2 ore

Dalla statica dei sistemi di forze alla geometria delle sezioni

Nelle lezioni precedenti abbiamo trattato le forze: come si compongono, come si riducono a una risultante e a un momento, a quali condizioni un sistema è in equilibrio. Da qui in avanti cambiamo oggetto di studio: non più le forze applicate a un corpo, ma la geometria del corpo stesso — in particolare, la sezione trasversale degli elementi strutturali.

Lo studio delle proprietà di un sistema di masse (o di aree) in relazione a come sono distribuite nello spazio si chiama geometria delle masse. Serve a individuare due grandezze fondamentali di ogni sezione: il baricentro, di cui ci occupiamo in questa lezione, e il momento d’inerzia, che vedremo nella prossima e che regola la resistenza e la rigidezza a flessione degli elementi strutturali.

Sistemi discreti e sistemi continui

Un sistema di masse può essere descritto in due modi, a seconda di come la massa è distribuita nello spazio.

Sistema	Distribuzione della massa	Esempio
Discreto	un numero finito di masse puntiformi m_i, ciascuna concentrata in una posizione precisa	i pesi propri di alcuni elementi puntuali collegati a una trave
Continuo	la massa è distribuita con continuità su una linea, una superficie o un volume	l’area di una sezione trasversale (pilastro, trave, piastra)

Per un sistema discreto le grandezze si calcolano con sommatorie; per un sistema continuo, con integrali — che altro non sono se non la somma estesa a infiniti elementi di massa (o di area) infinitesimi. Nella geometria delle sezioni lavoriamo quasi sempre con sistemi continui, ma è utile partire dal caso discreto perché il concetto è identico e i calcoli sono più intuitivi.

Massa totale e baricentro del sistema

Dato un sistema di masse, la loro risultante (il peso complessivo) passa sempre per un punto ben preciso, indipendentemente dall’orientamento del sistema nello spazio: questo punto si chiama baricentro.

Per un sistema discreto di n masse, la massa totale è la somma delle singole masse, e le coordinate del baricentro sono la media delle posizioni, pesata sulla massa di ciascun elemento.

M = Σ m_i

x_G = Σ(m_i x_i) / M

y_G = Σ(m_i y_i) / M

Per un sistema continuo (come l’area di una sezione), le sommatorie diventano integrali estesi a tutta l’area A.

A = ∫ dA

x_G = (1/A) ∫ x dA

y_G = (1/A) ∫ y dA

Per un materiale omogeneo (densità costante), il baricentro delle masse coincide con il baricentro geometrico dell’area. Per questo, da qui in avanti, useremo l’area A al posto della massa m: è la stessa matematica, applicata alla geometria della sezione invece che alla materia che la compone.

Il momento statico

Il momento statico di un sistema di aree rispetto a una retta è la somma dei prodotti di ciascuna area elementare per la propria distanza, con segno, dalla retta — esattamente come il momento di una forza è il prodotto della forza per il suo braccio.

S_x = Σ (A_i y_i) = ∫ y dA — momento statico rispetto all’asse x

S_y = Σ (A_i x_i) = ∫ x dA — momento statico rispetto all’asse y

Si misura in m³ (o cm³): un’area, che è una lunghezza al quadrato, moltiplicata per una distanza. È una grandezza che può essere positiva, negativa o nulla, a seconda di dove si trova l’area rispetto alla retta scelta.

ogni striscia elementare dA contribuisce al momento statico con il prodotto y × dA

Proprietà fondamentale: il momento statico di un sistema è nullo rispetto a qualsiasi retta baricentrica (cioè passante per il baricentro) — e viceversa: se il momento statico di un sistema è nullo rispetto a una retta, quella retta è baricentrica. È una proprietà biunivoca: baricentro e momento statico nullo si implicano a vicenda.

Relazione tra baricentro e momento statico

Confrontando le formule del baricentro (tavola 03) con quelle del momento statico (tavola 04), si ottiene la relazione che useremo in tutti i calcoli pratici.

y_G = S_x / A

x_G = S_y / A

In altre parole: il baricentro si trova dividendo il momento statico dell’area rispetto a un asse per l’area totale. È la stessa logica del baricentro di un sistema di forze parallele, visto nella lezione precedente — qui applicata non a delle forze, ma all’area stessa della sezione.

Questa relazione dimostra anche la proprietà della tavola precedente: se poniamo l’origine degli assi proprio nel baricentro, allora y_G = 0 e quindi S_x = A · y_G = 0 — il momento statico rispetto a un asse baricentrico è sempre nullo.

Simmetrie e baricentro

Riconoscere le simmetrie di una sezione, prima di calcolare, permette spesso di individuare il baricentro senza fare alcun calcolo.

Un asse di simmetria

Se il sistema di masse (o l’area) è simmetrico rispetto a un asse, il baricentro si trova su quell’asse. Per ogni elemento di area da un lato dell’asse, ne esiste uno identico e speculare dall’altro lato: i loro contributi al momento statico rispetto all’asse si annullano a due a due, quindi il momento statico complessivo rispetto all’asse è nullo — e per la proprietà della tavola 04, l’asse è baricentrico.

il baricentro sta sull’unico asse di simmetria, ma la sua posizione lungo l’asse va comunque calcolata

Due assi di simmetria

Se il sistema presenta due assi di simmetria, il baricentro deve trovarsi su entrambi contemporaneamente: la sua posizione è quindi univocamente determinata dalla loro intersezione, senza bisogno di alcun calcolo.

due assi di simmetria: il baricentro è determinato, senza calcolo, alla loro intersezione

È il caso del rettangolo, del cerchio, della sezione a doppio T simmetrica: forme molto comuni nel calcolo strutturale, per cui il baricentro si scrive a vista.

Baricentro di sezioni elementari

Per le forme geometriche più comuni, la posizione del baricentro è nota e si usa come dato di partenza per il calcolo delle sezioni composte.

Rettangolo

Baricentro nell’intersezione dei due assi di simmetria.

y_G = h/2 · x_G = b/2

Triangolo

Baricentro sull’intersezione delle mediane, a un terzo dell’altezza dalla base.

y_G = h/3 (dalla base)

Cerchio

Baricentro nel centro geometrico: infiniti assi di simmetria.

y_G = x_G = 0 (nel centro)

Semicerchio

Baricentro sull’asse di simmetria, spostato verso l’arco.

y_G = 4r / (3π) ≈ 0,424 r (dal diametro)

Queste quattro forme, insieme al trapezio (tavola 08), coprono la quasi totalità delle sezioni che incontrerete: ogni sezione più complessa si scompone in una combinazione di queste.

Baricentro del trapezio

Il trapezio non ha, in generale, due assi di simmetria: la sua posizione va quindi calcolata. Il modo più semplice è scomporlo in un rettangolo e un triangolo — la stessa tecnica che useremo per tutte le sezioni composte nella prossima tavola.

il trapezio (base maggiore a, base minore b, altezza h) diventa un rettangolo b×h più un triangolo di base (a−b) e altezza h

Elemento	Area	Distanza baricentro dalla base a
Rettangolo (b × h)	A₁ = b·h	y₁ = h/2
Triangolo ((a−b) × h)	A₂ = (a−b)·h/2	y₂ = h/3

Applicando y_G = Σ(A_i y_i) / ΣA_i ai due elementi, e semplificando, si ottiene la formula diretta del baricentro del trapezio, misurata dalla base maggiore a:

y_G = h (a + 2b) / [3 (a + b)]

Controllo dei casi limite: se b = a (rettangolo), la formula dà y_G = h·3a/(3·2a) = h/2, corretto. Se b = 0 (triangolo), dà y_G = h·a/(3a) = h/3, anche questo corretto: il trapezio “contiene” i suoi due casi limite.

Baricentro di sezioni composte

Le sezioni reali (a T, a L, a doppio T, a cassone) sono quasi sempre sezioni composte: unioni di più forme elementari. Il baricentro si calcola scomponendo la sezione nelle sue parti elementari — con eventuali fori trattati come aree negative — e applicando la stessa logica del teorema di Varignon visto per i sistemi di forze: il momento statico del tutto è uguale alla somma dei momenti statici delle parti.

y_G = Σ (A_i y_i) / Σ A_i

dove A_i è l’area di ciascuna parte elementare e y_i è la distanza del suo baricentro (noto dalla tavola 07 o 08) da un asse di riferimento comune, scelto una volta per tutte.

Esempio: sezione a T, tipica di una trave con soletta collaborante, formata da un’anima verticale di 20 × 50 cm e un’ala orizzontale di 80 × 15 cm in sommità.

anima (A1) e ala (A2) hanno ciascuna il proprio baricentro locale; il baricentro G dell’intera sezione si trova con la media pesata sulle aree

Parte	Area A_i (cm²)	y_i da O (cm)	A_i · y_i (cm³)
Anima 20×50	1000	25,0	25 000
Ala 80×15	1200	57,5	69 000
Totale	2200	—	94 000

y_G = 94 000 / 2200 = 42,73 cm (da O, la base dell’anima)

Il baricentro G si sposta verso la parte con più area — qui verso l’ala, che pur essendo più corta dell’anima ha un’area maggiore (1200 contro 1000 cm²). Non coincide né con G1 né con G2: sta tra i due, più vicino a quello con l’area maggiore, esattamente come il baricentro di due forze parallele concordi (tavola D2) sta più vicino alla forza maggiore.

Riepilogo dei concetti chiave

La geometria delle masse studia le proprietà di un sistema in relazione alla distribuzione della massa (o dell’area) nello spazio
I sistemi si dividono in discreti (masse puntiformi, sommatorie) e continui (distribuzione continua, integrali)
La risultante di un sistema di masse passa sempre per un punto fisso, il baricentro; per un materiale omogeneo coincide con il baricentro geometrico dell’area
Il momento statico S è la somma delle aree elementari per la loro distanza, con segno, da una retta: S_x = ΣA_iy_i, S_y = ΣA_ix_i
Il momento statico è nullo rispetto a qualsiasi retta baricentrica, e viceversa: retta a momento statico nullo ⟺ retta baricentrica
Dalla definizione discende la formula operativa: y_G = S_x/A, x_G = S_y/A
Un asse di simmetria contiene sempre il baricentro; due assi di simmetria lo determinano univocamente, alla loro intersezione
Le sezioni elementari (rettangolo, triangolo, cerchio, semicerchio, trapezio) hanno baricentro noto, da usare come dato di partenza
Il baricentro del trapezio: y_G = h(a + 2b) / [3(a + b)], dalla base maggiore a
Il baricentro di una sezione composta si trova scomponendola in parti elementari e applicando y_G = Σ(A_iy_i) / ΣA_i — lo stesso principio del teorema di Varignon

Esercizio guidato

verifica di comprensione

Baricentro di una sezione a L

Una sezione a L è formata da due rettangoli: uno verticale di 15 × 60 cm e uno orizzontale di 45 × 15 cm, disposto alla base del primo (i due rettangoli condividono l’angolo in basso a sinistra). Calcolare le coordinate x_G, y_G del baricentro, misurate dal vertice esterno dell’angolo.

Suggerimento — scomponi la L in due rettangoli, costruisci la tabella A_i, x_i, y_i (i baricentri locali dei due rettangoli rispetto al vertice), poi applica separatamente x_G = Σ(A_ix_i)/ΣA_i e y_G = Σ(A_iy_i)/ΣA_i. Attenzione: in una L non ci sono assi di simmetria che aiutino, servono entrambi i calcoli.