Sistemi di Forze
Dalla singola forza ai sistemi: come si compongono più forze applicate a uno stesso corpo, e in quali condizioni un sistema è in equilibrio.
Dal modello delle forze ai sistemi
Nella lezione precedente abbiamo trattato una singola forza: come rappresentarla, scomporla, assegnarle un segno. Ma nella realtà una struttura riceve quasi sempre più forze contemporaneamente — il peso proprio, il carico degli impianti, il vento, la neve, il peso delle persone.
Un insieme di più forze applicate a uno stesso corpo si chiama sistema di forze. Saperlo trattare significa poter rispondere a due domande: qual è il suo effetto complessivo (la risultante), e a quali condizioni il sistema lascia il corpo in equilibrio.
Classificazione dei sistemi di forze
I sistemi di forze si distinguono in base a come le rette d’azione delle singole forze sono disposte tra loro.
| Tipo di sistema | Caratteristica | Esempio in edilizia |
|---|---|---|
| Concorrenti | le rette d’azione si incontrano tutte in un unico punto | forze scaricate su un nodo di una capriata |
| Parallele | le rette d’azione sono tutte parallele tra loro | carichi distribuiti su una trave (tutti verticali) |
| Comunque disposte (generiche) | nessuna relazione particolare tra le rette d’azione | vento + peso proprio + carico neve su una copertura inclinata |
Sistemi di forze concorrenti
Quando più forze condividono lo stesso punto di applicazione, la loro risultante si può determinare con due metodi equivalenti: uno grafico, uno analitico.
Metodo grafico: il poligono delle forze
Si dispongono i vettori uno di seguito all’altro, “testa-coda”, mantenendo modulo, direzione e verso di ciascuno. Il vettore che chiude il poligono — dal punto di partenza all’ultima punta — è la risultante R.
Metodo analitico: somma delle componenti
Si scompone ciascuna forza lungo x e y (come visto nella lezione precedente), si sommano algebricamente le componenti, e si ricompone la risultante.
Teorema di Varignon
È il teorema che rende possibile calcolare il momento di un intero sistema di forze senza dover scomporre e ricomporre geometricamente ogni vettore.
Il momento della risultante di un sistema di forze, calcolato rispetto a un polo qualsiasi, è uguale alla somma algebrica dei momenti delle singole forze del sistema rispetto allo stesso polo.
Casi particolari: concorrenza in un punto e sistemi simmetrici
Due situazioni geometriche ricorrenti permettono di semplificare notevolmente i calcoli.
Tutte le forze concorrenti in uno stesso punto
Se scegliamo come polo proprio il punto in cui le rette d’azione si incontrano, il braccio di ciascuna forza rispetto a quel polo è nullo — e quindi, per il teorema di Varignon, anche il momento di ciascuna forza (e della risultante) rispetto a quel punto è nullo.
Sistemi simmetrici
Quando un sistema di forze presenta una simmetria geometrica rispetto a un asse (stessa disposizione e stesso modulo delle forze su entrambi i lati), la risultante giace necessariamente lungo l’asse di simmetria: la componente perpendicolare a quell’asse si annulla per compensazione reciproca.
Sistemi di forze parallele
Quando le rette d’azione sono tutte parallele (il caso più frequente in edilizia: i carichi verticali su una trave), il modulo della risultante si ottiene semplicemente sommando algebricamente i moduli — ma va anche determinata la sua posizione.
Stesso verso
R = F1 + F2, applicata in un punto interno al segmento che unisce le due forze.
Verso opposto
R = F1 − F2, applicata all’esterno del segmento, dalla parte della forza maggiore.
Coppia (caso limite)
Se F1 = F2 e i versi sono opposti, la risultante è nulla: resta solo un momento (M = F × b).
Sistemi equivalenti a un momento: la coppia di forze
Il caso limite del paragrafo precedente — forze parallele uguali e opposte — merita un approfondimento a parte, perché ricorre spesso nel calcolo strutturale.
Una coppia è un sistema formato da due forze uguali in modulo, parallele, di verso opposto, applicate però su rette d’azione diverse, a una certa distanza b (il braccio della coppia).
Sistemi di forze comunque disposte
È il caso più generale — e più realistico: le forze su una struttura raramente sono tutte concorrenti o tutte parallele.
Un sistema di forze comunque disposte si può sempre ridurre, rispetto a un punto O scelto come polo, a:
In pratica: una forza applicata in O che riproduce l’effetto traslante del sistema, più un momento che ne riproduce l’effetto rotante. Questa riduzione è il punto di partenza per scrivere le equazioni di equilibrio più avanti.
Sistemi di forze distribuite
Nella lezione precedente abbiamo introdotto il carico distribuito q come modello. Ora lo trattiamo come un vero e proprio sistema di infinite forze concentrate infinitesime, parallele tra loro — e ne cerchiamo la risultante.
La risultante di un carico distribuito è pari all’area del diagramma dei carichi, ed è applicata nel baricentro di quell’area.
Carico uniforme
R = q × L, applicata a metà della lunghezza L (baricentro del rettangolo).
Carico triangolare
R = (qmax × L) / 2, applicata a L/3 dal lato di carico massimo (baricentro del triangolo).
Condizioni di equilibrio di un sistema di forze
Un sistema di forze comunque disposte, applicato a un corpo rigido nel piano, è in equilibrio quando sono soddisfatte contemporaneamente tre equazioni:
Effetti delle forze: moti rigidi e deformazioni
Finora abbiamo trattato le forze e i sistemi di forze in astratto. Ma quando una forza agisce realmente su un corpo, quale effetto produce?
Gli effetti possibili sono di due tipi:
Moti rigidi
Il corpo si sposta e/o ruota nello spazio senza cambiare forma né dimensioni: traslazione e rotazione rigida. È l’effetto che consideriamo quando studiamo l’equilibrio globale di una struttura.
Deformazioni
Il corpo cambia forma: si allunga, si flette, si comprime. Le deformazioni possono essere elastiche (reversibili: il corpo torna alla forma iniziale quando la forza cessa) o plastiche (permanenti, oltre un certo limite di sollecitazione).
I due modelli di corpo: rigido ed elastico
| Modello | Ipotesi | Cosa si può fare |
|---|---|---|
| Corpo rigido | si trascurano le deformazioni: sotto l’azione di forze il corpo può solo traslare o ruotare rigidamente | è lecito sostituire un sistema di forze con uno staticamente equivalente (stessa R, stesso M) senza alterarne l’effetto — utile per il calcolo delle reazioni vincolari |
| Corpo elastico | si tiene conto della deformabilità: le forze producono anche tensioni e spostamenti interni, punto per punto | non è più lecito sostituire un sistema con uno equivalente: due sistemi con stessa R e stesso M possono deformare il corpo in modo diverso |
Il principio di sovrapposizione degli effetti
Nel modello di corpo elastico, sotto opportune ipotesi, vale un principio che semplificherà enormemente i calcoli dei prossimi anni.
Se un corpo elastico è soggetto a più forze applicate contemporaneamente, l’effetto complessivo (tensioni, spostamenti, deformazioni) è uguale alla somma degli effetti che ciascuna forza produrrebbe se applicata da sola, con le altre assenti.
Riepilogo dei concetti chiave
- Un sistema di forze è un insieme di più forze applicate a uno stesso corpo
- I sistemi si classificano in concorrenti, parallele, comunque disposte
- Le forze concorrenti si compongono con il poligono delle forze (grafico) o con la somma delle componenti (analitico)
- Il teorema di Varignon: il momento della risultante rispetto a un polo uguaglia la somma dei momenti delle componenti
- Scegliere il polo in un punto di concorrenza annulla il momento di quelle forze; un asse di simmetria contiene sempre la risultante
- Le forze parallele hanno risultante R = ΣF, la cui posizione si trova con Varignon; nel caso limite (F uguali e opposte) si ottiene una coppia, equivalente a un momento puro
- Un sistema generico si riduce a una risultante R e a un momento risultante M₀ rispetto a un polo
- Un carico distribuito ha risultante pari all’area del diagramma di carico, applicata nel suo baricentro
- Un sistema è in equilibrio quando ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 simultaneamente
- Le forze producono moti rigidi o deformazioni (elastiche o plastiche), a seconda del modello di corpo adottato
- Nel modello di corpo elastico non è più lecito sostituire un sistema di forze con uno equivalente; vale invece il principio di sovrapposizione degli effetti
Esercizio guidato
Risultante di due forze parallele concordi
Su una trave agiscono due forze verticali concordi: F1 = 12 kN applicata a 1,0 m dall’appoggio sinistro, F2 = 8 kN applicata a 4,0 m dallo stesso appoggio. Calcolare modulo e posizione della risultante.
Suggerimento — il modulo è R = F1 + F2. Per la posizione, imposta l’equivalenza dei momenti rispetto all’appoggio sinistro: R × d = F1 × 1,0 + F2 × 4,0, e risolvi per d.