Pressoflessione Deviata

In L4 il centro di pressione stava su un asse principale. Ora può stare dove vuole: la forza normale produce due momenti insieme, uno per ogni asse.

Un pilastro d’angolo riceve travi da due lati, un plinto trasmette al terreno momenti in due direzioni, un pilastro caricato da solai asimmetrici e dal vento non ha una risultante che cade su un asse. In tutti questi casi l’eccentricità ha due componenti. Servono tre cose già viste: la pressoflessione retta e il nocciolo (L4), la flessione deviata (L3) e la sovrapposizione degli effetti.

Si ha pressoflessione deviata quando la forza normale di compressione N è applicata in un punto C fuori da entrambi gli assi principali d’inerzia.

Il punto C ha due coordinate, xc lungo x e yc lungo y, misurate dal baricentro G. Spostare N in G richiede di aggiungere due momenti di trasporto, uno per ogni coordinata.

• Mx = N·yc flette la sezione attorno all’asse x (fa lavorare il braccio yc), My = N·xc la flette attorno all’asse y. I due momenti sono le componenti dell’unico momento M = N·e, con e = √(xc² + yc²), il cui piano non contiene un asse principale
• Il legame con L3: la parte flessionale della pressoflessione deviata è una flessione deviata. In più c’è la compressione N, che sposta l’asse neutro lontano dal baricentro
• Segni: la trazione è positiva, la compressione negativa. Gli assi x (a destra) e y (in basso) sono scelti come in L3 e L4; si prendono xc e yc con il segno delle coordinate di C, che qui sono entrambe positive. Se C sta in un altro quadrante basta cambiare i segni dei termini corrispondenti
• Dal momento al punto C: con N, Mx e My noti, le coordinate sono yc = Mx/N e xc = My/N (in valore assoluto, con il segno del quadrante)

La formula della pressoflessione deviata somma tre termini: la compressione uniforme e le due flessioni attorno agli assi principali.

• N/A: compressione uniforme, uguale in ogni punto. Ix, Iy: momenti d’inerzia principali (E2), x e y coordinate del punto dal baricentro, con gli assi orientati verso C
• Il segno meno dei due termini flessionali dice che il punto dal lato di C (x e y positive, come C) è compresso due volte: da N e da entrambe le flessioni
• σ: la trazione è positiva e la compressione negativa, come in L2, L3 e L4

Si raccoglie N/A e si introducono i raggi d’inerzia ρx² = Ix/A e ρy² = Iy/A (L4):

Per il rettangolo b × h è ρy² = b²/12 e ρx² = h²/12. Nei quattro vertici (x = ±b/2, y = ±h/2) la formula diventa molto semplice:

L’asse neutro n è la retta dove la tensione è nulla: si ottiene ponendo σ = 0 nella formula, quindi 1 + yc·y/ρx² + xc·x/ρy² = 0.

• Non passa per G: l’equazione ha termine noto −1 e quindi, a differenza della flessione deviata di L3, l’asse neutro si trova a distanza finita dal baricentro, dal lato opposto a C
• Intercette: x0 = −ρy²/xc sull’asse x e y0 = −ρx²/yc sull’asse y. Per il rettangolo x0 = −b²/(12·xc) e y0 = −h²/(12·yc). Congiungendo i due punti si traccia n
• Casi particolari: con xc = 0 si ritrova la retta orizzontale y = −ρx²/yc di L4; con yc = 0 la retta verticale x = −ρy²/xc
• Inclinazione: il coefficiente angolare di n è dy/dx = −(xc·ρx²) / (yc·ρy²). Non è, in generale, la direzione perpendicolare a GC (tavola 05)
• Quando n è fuori dalla sezione: se nessun vertice cambia segno, cioè se tutti e quattro i valori ai vertici hanno σ < 0. Se anche un solo vertice è teso, n attraversa la sezione

Con C fuori dagli assi, l’asse neutro e la retta GC non sono perpendicolari: lo diventano solo se l’ellisse d’inerzia è un cerchio.

La relazione di antipolarità tra C e n, già incontrata in L4, ha una lettura geometrica precisa. Si conduca la retta GC e si indichi con Q il punto in cui incontra l’ellisse centrale d’inerzia. L’asse neutro è parallelo alla tangente all’ellisse in Q: le due direzioni si dicono coniugate rispetto all’ellisse.

• Quadrato e cerchio (Ix = Iy, ρx = ρy): l’ellisse è un cerchio, la tangente in Q è perpendicolare al raggio GQ e quindi n è perpendicolare a GC. La pressoflessione deviata si riduce a una retta nella direzione di GC, con eccentricità e = √(xc² + yc²) e le formule di L4
• Rettangolo e sezioni con Ix ≠ Iy: n tende ad avvicinarsi all’asse rispetto a cui il momento d’inerzia è minore (l’asse debole). Nell’esempio GC ha inclinazione 53° da x, mentre n è inclinato di 55° rispetto a GC. Per queste sezioni non si può ridurre il problema a una pressoflessione retta con un’unica eccentricità
• Se C si sposta lungo una retta, n ruota attorno a un punto fisso, l’antipolo di quella retta. È la proprietà che ha permesso di costruire il nocciolo (L4) e che qui serve per tracciarlo per sezioni qualsiasi (tavola 07)

C è nel nocciolo, e la sezione resta tutta compressa, quando |xc|/(b/6) + |yc|/(h/6) ≤ 1: una somma, non due condizioni separate.

Il vertice più sfavorevole è quello opposto a C (in alto a sinistra nei nostri disegni), dove la formula dei vertici dà σ = −(N/A)·(1 − 6|xc|/b − 6|yc|/h). Non c’è trazione se la parentesi è non negativa: 6|xc|/b + 6|yc|/h ≤ 1, cioè proprio la regola della somma. Con C sugli assi si ritrovano i semiassi b/6 e h/6 della losanga di L4.

• Il terzo medio non basta: la regola “C nel terzo medio” vale lungo ciascun asse, ma con eccentricità in due direzioni occorre rispettare la somma. Il punto S (0,5; 0,5) rispetta xc < b/6 e yc < h/6 ma è già sul bordo del nocciolo; il punto (0,8; 0,8) è ancora dentro i due terzi medi ed è fuori dalla losanga
• Un vertice o due: appena fuori dalla losanga è teso solo il vertice opposto a C; se |xc| supera (b/6)·(1 + 6|yc|/h) sono tesi i due vertici di un lato e n taglia i due lati opposti (stessa cosa per yc)
• Area del nocciolo: A/18, circa il 5,6% della sezione, come in L4. Con due eccentricità la zona ammessa è piccola e uscirne è facile

Il limite sull’eccentricità dipende anche dalla direzione di GC. Detto θ l’angolo tra GC e l’asse x, la distanza massima di C da G che mantiene la sezione compressa è e_lim = 1 / (cos θ /(b/6) + sin θ /(h/6)):

Per una sezione qualsiasi il nocciolo è il poligono (o la curva) i cui vertici sono gli antipoli dei lati dell’inviluppo convesso.

Il procedimento di L4, applicato lato per lato, funziona per qualunque sezione con assi principali noti. Come esempio, una sezione a T, simmetrica rispetto a y ma non rispetto a x: il nocciolo non è simmetrico, perché i due lembi sono a distanze diverse da G.

• 1. Si calcolano G, gli assi principali e i raggi d’inerzia ρx² = Ix/A e ρy² = Iy/A (qui gli assi principali sono quelli di simmetria)
• 2. Si disegna l’inviluppo convesso della sezione: l’insieme delle rette tangenti che ne delimitano l’ingombro. Le rientranze (qui tra ala e anima) non contano
• 3. Per ogni lato dell’inviluppo si scrive la retta nella forma a·x + b·y = 1 (non passa per G). Il suo antipolo ha coordinate xc = −a·ρy² e yc = −b·ρx²
• 4. Si uniscono gli antipoli in ordine: il poligono ottenuto è il nocciolo. Un lato del nocciolo corrisponde a un vertice dell’inviluppo

• Valori: A = 640 cm², yG = 140 mm dal lembo superiore, Ix = 930,1 × 10⁶ mm⁴, Iy = 453,3 × 10⁶ mm⁴, ρx² = 14533 mm², ρy² = 7083 mm². Il lembo superiore dista 140 mm da G, quello inferiore 260 mm
• Il lembo superiore (a 140 mm) dà l’antipolo verso il basso a ρx²/140 = 103,8 mm da G, il lembo inferiore (a 260 mm) quello verso l’alto a ρx²/260 = 55,9 mm. In orizzontale i lati verticali dell’ala (a 200 mm) danno ±ρy²/200 = ±35,4 mm; l’estensione massima in x (±41,2 mm) si ha ai vertici dei lati obliqui
• Che cosa dice: una risultante con C verso l’ala (in alto) può avere eccentricità fino a 56 mm senza tendere l’anima; con C verso l’anima (in basso) fino a 104 mm. La T, con la massa concentrata in alto, tollera meglio i carichi verso l’anima
• Il cerchio è il caso più semplice: il nocciolo è un cerchio di raggio d/8 in ogni direzione (L4), e la distinzione tra pressoflessione retta e deviata perde senso. Per la corona circolare il raggio è (R² + r²)/(4R)

Pilastro in calcestruzzo non armato, sezione 30 × 50 cm, N = 300 kN. Due posizioni di C: una nel nocciolo, una fuori.

• Passo 1 — Geometria. A = 300 × 500 = 150 000 mm²; N/A = 2,00 MPa; ρy² = b²/12 = 7500 mm²; ρx² = h²/12 = 20833 mm². Semiassi del nocciolo: b/6 = 50 mm, h/6 = 83,3 mm
• Passo 2 — Caso A, nocciolo. xc/(b/6) + yc/(h/6) = 20/50 + 30/83,3 = 0,40 + 0,36 = 0,76 < 1: C è dentro il nocciolo
• Passo 3 — Caso A, vertici. 6xc/b = 0,40 e 6yc/h = 0,36. In basso a destra σ = −2,00·(1 + 0,40 + 0,36) = −3,52 MPa; in alto a destra −2,00·(1 + 0,40 − 0,36) = −2,08; in basso a sinistra −2,00·(1 − 0,40 + 0,36) = −1,92; in alto a sinistra −2,00·(1 − 0,40 − 0,36) = −0,48 MPa. Sono tutte negative: tutta compressa
• Passo 4 — Caso A, asse neutro. x0 = −7500/20 = −375 mm, y0 = −20 833/30 = −694 mm: entrambe le intercette cadono oltre i lembi (±150 e ±250 mm), n è fuori dalla sezione, in accordo con i segni
• Passo 5 — Caso B, nocciolo. 40/50 + 100/83,3 = 0,80 + 1,20 = 2,00 > 1: C è fuori dal nocciolo (xc = 40 mm sta ancora sotto b/6 = 50 mm, ma yc = 100 mm supera h/6 = 83,3 mm)
• Passo 6 — Caso B, vertici. 6xc/b = 0,80 e 6yc/h = 1,20: in basso a destra −2,00·3,00 = −6,00 MPa; in alto a destra −2,00·(1 + 0,80 − 1,20) = −1,20; in basso a sinistra −2,00·(1 − 0,80 + 1,20) = −2,80; in alto a sinistra −2,00·(1 − 0,80 − 1,20) = +2,00 MPa (trazione)
• Passo 7 — Caso B, asse neutro. x0 = −7500/40 = −187,5 mm (fuori dal lembo, |x0| > 150) e y0 = −20 833/100 = −208,3 mm (dentro, |y0| < 250). Sul lato x = −150 mm n incontra la sezione in y = −41,7 mm; sul lato y = −250 mm in x = 37,5 mm
• Passo 8 — Zona tesa. È il triangolo d’angolo in alto a sinistra con cateti 187,5 mm e 208,3 mm: area ½ · 187,5 · 208,3 ≈ 19531 mm², il 13,0% della sezione
• Passo 9 — Controllo. Per i vertici opposti: −6,00 + 2,00 = −4,00 e −1,20 + −2,80 = −4,00, entrambe uguali a −2N/A = −4,00 MPa

Se C è fuori dal nocciolo e il materiale non resiste a trazione, la parte tesa non lavora: la zona compressa è un triangolo d’angolo se n taglia due lati adiacenti.

Dalla parte di C la zona compressa è un triangolo con vertice nello spigolo della sezione più vicino a C. Siano u e v le distanze di C dai due lati di quello spigolo (u = b/2 − |xc|, v = h/2 − |yc|). Le tensioni crescono linearmente dall’asse neutro (σ = 0) allo spigolo (σmax): il solido delle tensioni è un tetraedro, con tre spigoli ortogonali di lunghezze a, c e σmax.

Il baricentro di un tetraedro con tre spigoli ortogonali sta a 1/4 di ciascuno spigolo. La risultante delle compressioni passa per il baricentro del solido e deve coincidere con C, quindi i cateti sono il quadruplo delle distanze di C dai lati:

L’equilibrio alla traslazione impone che il volume del solido (σmax·a·c/6) sia uguale a N, da cui:

• Condizioni di validità: a ≤ b e c ≤ h, cioè 4u ≤ b e 4v ≤ h. Solo allora n taglia i due lati adiacenti e la zona compressa è davvero un triangolo
• Se una condizione non è soddisfatta, la zona compressa è un trapezio (n taglia due lati opposti) o un pentagono (n taglia due lati adiacenti ma lascia compressi tre vertici): il sistema per trovare n non ha soluzione in forma chiusa semplice e si risolve per tentativi, con gli abachi o con un foglio di calcolo
• Il caso retto di L4 (C su un asse) è un altro caso particolare: n è parallelo a un lato, la zona compressa è una fascia rettangolare di larghezza b e profondità 3u, e il solido è un prisma triangolare con σmax = 2N/(3·b·u)
• Per C vicino allo spigolo (u e v piccoli) σmax cresce senza limite. In pratica la resistenza a compressione della muratura o del calcestruzzo limita la posizione ammissibile di C molto prima

Pila in muratura (o calcestruzzo non armato) di sezione 80 × 120 cm, N = 300 kN, C lontano dagli assi.

• Passo 1 — Geometria. A = 800 × 1200 = 960 000 mm²; N/A = 0,3125 MPa. Semiassi del nocciolo: b/6 = 133,3 mm, h/6 = 200 mm
• Passo 2 — Nocciolo. 250/133,3 + 380/200 = 1,875 + 1,900 = 3,77 > 1: C è molto fuori dal nocciolo (ciascuna componente supera da sola il proprio limite)
• Passo 3 — Sezione reagente (solo come confronto). 6xc/b = 1,875 e 6yc/h = 1,900: in basso a destra σ = −1,49 MPa; in alto a destra −0,30; in basso a sinistra −0,32; in alto a sinistra +0,87 MPa. C’è una trazione che muratura e calcestruzzo non armato non possono assorbire
• Passo 4 — Distanze di C dai lati. u = b/2 − xc = 400 − 250 = 150 mm, v = h/2 − yc = 600 − 380 = 220 mm
• Passo 5 — Validità del triangolo. a = 4u = 600 mm ≤ b = 800 mm e c = 4v = 880 mm ≤ h = 1200 mm: il modello è applicabile; n incontra il lato x = +400 mm in y = 600 − 880 = −280 mm e il lato y = +600 mm in x = 400 − 600 = −200 mm
• Passo 6 — Tensione massima. σmax = 3N/(8·u·v) = 3 × 300 000 / (8 × 150 × 220) = 3,41 MPa. Controllo: il volume del solido è σmax·a·c/6 = 3,4091 × 600 × 880 / 6 = 300000 N ≈ N
• Passo 7 — Confronto. La massima compressione elastica sarebbe 1,49 MPa; con la sezione non reagente sale a 3,41 MPa, circa 2,3 volte tanto. Il triangolo è tutto compresso e occupa solo 27,5% dell’area della sezione (½·600·880 = 264 000 mm²)

Il terreno non resiste a trazione: un plinto con la risultante fuori dal nocciolo si stacca dal terreno in una zona dell’impronta. La regola della somma è il primo controllo.

• Passo 1 — Ciascuna componente rispetto al proprio terzo medio. B/6 = 0,333 m > ex = 0,20 m e L/6 = 0,50 m > ey = 0,30 m: sembra tutto in ordine
• Passo 2 — Regola della somma. 6ex/B + 6ey/L = 0,60 + 0,60 = 1,20 > 1: la risultante è fuori dal nocciolo
• Passo 3 — Pressioni agli angoli. N/A = 900/6,00 = 150 kPa. Angoli: 150 · (1 + 0,60 + 0,60) = 330; 150 · (1 + 0,60 − 0,60) = 150; 150 · (1 − 0,60 + 0,60) = 150; 150 · (1 − 0,60 − 0,60) = −30 kPa (trazione: il terreno non la trasmette)
• Passo 4 — Che cosa fare. Allargare il plinto. Con B × L = 2,40 × 3,60 m la somma è 6·0,20/2,40 + 6·0,30/3,60 = 0,50 + 0,50 = 1,00: la risultante cade sul bordo del nocciolo. Con N/A = 900/8,64 = 104,2 kPa: angoli 208,3, 104,2, 104,2 e 0 kPa. La pressione massima è 2N/A = 208,3 kPa
• Passo 5 — Nota sul peso. Un plinto più grande pesa di più e N aumenta: nella pratica si ricalcola con il nuovo peso. Qui N è tenuto costante per isolare l’effetto della geometria

Sette passi, nell’ordine, per risolvere qualunque problema di questo tipo senza dimenticare controlli.

• 1. Dati e assi. Disegnare la sezione con gli assi principali, N e il punto C(xc; yc) con i segni. Se si hanno N, Mx e My: xc = My/N, yc = Mx/N
• 2. Caratteristiche geometriche. A, Ix, Iy, ρx² = Ix/A e ρy² = Iy/A (per il rettangolo b²/12 e h²/12)
• 3. Posizione di C. Calcolare |xc|/(b/6) + |yc|/(h/6) (per altre sezioni usare il nocciolo costruito con gli antipoli). Se ≤ 1 la sezione è tutta compressa
• 4. Tensioni ai vertici. Con la formula a tre termini; verificare che la somma dei vertici opposti sia −2N/A
• 5. Asse neutro. Intercette x0 = −ρy²/xc e y0 = −ρx²/yc, e punti in cui n incontra i lati. Se tutti i vertici sono compressi n è fuori dalla sezione
• 6. Materiale non reagente. Se compare trazione e il materiale non la sopporta: controllare 4u ≤ b e 4v ≤ h; se vale, σmax = 3N/(8uv); altrimenti calcolo per tentativi o con un programma
• 7. Verifica finale. Confrontare σmax con la resistenza di calcolo del materiale (L1 e H1), con i limiti di eccentricità delle norme vigenti (da verificare sul testo)

Quattro problemi per verificare la comprensione degli argomenti della lezione. Dati inventati a scopo didattico.

Risultati per il controllo

• Problema 1. Terzi medi: 50 mm < 66,7 mm, entrambi rispettati; somma = 0,75 + 0,75 = 1,50 > 1, quindi fuori dal nocciolo. N/A = 2,50 MPa; vertici: −6,25, −2,50, −2,50, +1,25 MPa. n taglia i lati in (−200; −66,7) mm e (−66,7; −200) mm (intercette −266,7 mm)
• Problema 2. e = 50 mm; raggio del nocciolo d/8 = 62,5 mm (dentro). N/A = 2,55 MPa; σ = −N/A·(1 ± 8e/d) = −4,58 e −0,51 MPa; distanza di n da G: ρ²/e = 15 625/50 = 312,5 mm (oltre il raggio 250 mm, fuori); n è perpendicolare a GC (ellisse circolare). Con C sul bordo del nocciolo σmax = 2N/A = 5,09 MPa
• Problema 3. Semiassi del nocciolo 133,3 e 166,7 mm; 220/133,3 + 300/166,7 = 3,45 > 1. u = 180 mm, v = 200 mm; 4u = 720 mm ≤ 800 mm e 4v = 800 mm ≤ 1000 mm: il triangolo è applicabile. σmax = 3N/(8uv) = 2,60 MPa; il vertice più compresso nel calcolo elastico vale 1,39 MPa (con trazione di +0,77 MPa in alto a sinistra)
• Problema 4. Somma = 6·0,25/2,00 + 6·0,20/2,80 = 0,75 + 0,43 = 1,18 > 1. N/A = 107,1 kPa; angoli 233,4, 141,6, 72,7 e −19,1 kPa (l’ultimo è trazione). Larghezza minima: 6·0,25/B ≤ 1 − 0,43, quindi B ≥ 2,63 m

• La pressoflessione deviata è la compressione con N applicata in C(xc; yc) fuori dagli assi principali. È equivalente a N in G più Mx = N·yc e My = N·xc
• σ = −N/A − N·yc·y/Ix − N·xc·x/Iy = −(N/A)·(1 + yc·y/ρx² + xc·x/ρy²); per il rettangolo ai vertici σ = −(N/A)(1 ± 6xc/b ± 6yc/h)
• Il solido delle tensioni è un piano: la media dei vertici è −N/A e per i vertici opposti σ + σ = −2N/A
• Asse neutro: xc·x/ρy² + yc·y/ρx² = −1; intercette x0 = −ρy²/xc e y0 = −ρx²/yc. Non passa per G; con N trascurabile tende all’asse neutro di L3
• Direzione di n: parallela alla tangente all’ellisse d’inerzia nel punto in cui GC la incontra; perpendicolare a GC solo se l’ellisse è un cerchio (quadrato, cerchio)
• Regola della somma: il rettangolo non è teso se |xc|/(b/6) + |yc|/(h/6) ≤ 1; il terzo medio lungo ciascun asse non basta. La direzione più sfavorevole è la diagonale
• Nocciolo di una sezione qualsiasi: poligono degli antipoli dei lati dell’inviluppo convesso, xc = −a·ρy² e yc = −b·ρx² per la retta a·x + b·y = 1
• Sezione non reagente (n taglia due lati adiacenti, 4u ≤ b e 4v ≤ h): zona compressa triangolare con cateti 4u e 4v, σmax = 3N/(8·u·v)
• Plinto: pressioni agli angoli N/A·(1 ± 6ex/B ± 6ey/L); se la somma 6ex/B + 6ey/L supera 1 un angolo è scaricato