Pressoflessione Retta e Nocciolo Centrale d’Inerzia

Finora la sezione era sollecitata da un momento flettente. Aggiungiamo ora lo sforzo normale di compressione, che è il caso dei pilastri, dei muri e delle fondazioni.

In L2 e L3 la tensione dipendeva solo da M. Ma quasi ogni elemento verticale porta anche un carico assiale, e quel carico spesso non è centrato: un solaio appoggiato su un lato del pilastro, la spinta del vento, un muro di sostegno. Le due azioni si sovrappongono. I concetti da richiamare sono il momento d’inerzia e il modulo di resistenza (E2, L2), la sovrapposizione degli effetti (L3) e la tensione normale σ = N/A (L1).

Si ha pressoflessione quando la sezione è sollecitata da uno sforzo normale di compressione N non applicato nel baricentro.

Il punto in cui la retta d’azione di N incontra la sezione si chiama centro di pressione C. La distanza tra C e il baricentro G è l’eccentricità e. Se C si trova su un asse principale d’inerzia la pressoflessione è retta; se C è fuori dagli assi principali è deviata (la tratteremo dopo, con gli stessi strumenti di L3).

• Il sistema equivalente: spostare N dal punto C al baricentro G richiede di aggiungere il momento di trasporto M = N·e, che è un momento flettente nel piano che contiene l’asse della trave e C
• Compressione semplice: se e = 0, N passa per G e la tensione è uniforme σ = −N/A. È il caso limite da cui si parte
• Pressoflessione retta: con e ≠ 0 e C sull’asse y, la sezione è soggetta insieme a N (compressione) e a M = N·e (flessione retta come in L2)
• Segni: come in L2 e L3 la trazione è positiva. Con N di compressione la tensione dovuta a N è quindi negativa. L’asse y è positivo verso il basso e verso C

Se il materiale è elastico lineare, la tensione di N e quella di M si sommano.

È la stessa idea della flessione deviata (L3), con due azioni diverse invece di due componenti del momento. Il primo effetto è la compressione uniforme di N su tutta l’area, il secondo è la flessione retta del momento N·e con asse neutro baricentrico.

Il lato di C è quello dove N e M danno compressione e si sommano; sul lato opposto la compressione di N è ridotta dalla trazione del momento. Se la trazione di M supera la compressione di N, la tensione cambia segno e una parte della sezione risulta tesa.

La formula della pressoflessione retta si ottiene sommando −N/A alla formula di Navier di L2 con M = N·e.

• N: sforzo normale di compressione (N, preso in valore assoluto), A: area della sezione, e: eccentricità (mm), Ix: momento d’inerzia rispetto all’asse x baricentrico perpendicolare a y
• y: coordinata del punto misurata dal baricentro, positiva verso il lato di C. Il segno meno del secondo termine dice che sul lato di C la flessione comprime, come N
• σ: positiva è trazione, negativa è compressione (come in L2 e L3)

Si può raccogliere N/A e introdurre il raggio d’inerzia ρx = √(Ix/A), cioè ρx² = Ix/A. La formula diventa:

Per un rettangolo b × h con h parallelo a y è Ix = b·h³/12, quindi ρx² = h²/12, e ai lembi (y = ±h/2) la formula si scrive in modo molto semplice:

Il segno più vale per il lato di C (lembo più compresso), il segno meno per il lato opposto. Il fattore 6e/h è l’unico parametro che conta. Con N/A come unità si ottiene:

Con e crescente il diagramma delle tensioni passa da un rettangolo a un trapezio, poi a un triangolo, infine a due triangoli di segno opposto.

• e = 0: compressione semplice, diagramma rettangolare. Non esiste asse neutro (o è all’infinito)
• 0 < e < h/6: diagramma trapezio con tensioni tutte di compressione, più forte sul lato di C. L’asse neutro è fuori dalla sezione
• e = h/6: diagramma triangolare, con σ = 0 su un lembo e −2N/A sull’altro. L’asse neutro è tangente alla sezione
• e > h/6: il diagramma attraversa lo zero. Il lato opposto a C è teso, l’asse neutro entra nella sezione. Se il materiale non resiste a trazione, la parte tesa non lavora e il diagramma va ricalcolato (tavola 11)

L’asse neutro n è la retta dove la tensione è nulla. Si trova ponendo σ = 0 nella formula.

Dalla forma σ = −(N/A)·(1 + e·y/ρx²) si ha σ = 0 quando 1 + e·y/ρx² = 0, cioè:

È una retta parallela all’asse x (cioè perpendicolare alla direzione dell’eccentricità) e si trova a distanza ρx²/e dal baricentro, dal lato opposto a C. Per il rettangolo è ρx² = h²/12 e quindi y0 = h²/(12e).

• Prodotto costante: e · |y0| = ρx². La distanza di n da G è inversamente proporzionale a e: se l’eccentricità raddoppia, n si avvicina a G e dimezza la distanza
• Limite e → 0: |y0| → ∞, l’asse neutro si allontana all’infinito e la compressione diventa uniforme
• Limite e → ∞: |y0| → 0, l’asse neutro tende a G: la flessione domina e si ritrova quasi la flessione retta di L2
• Quando n entra nella sezione: se |y0| ≤ h/2, cioè e ≥ ρx²/(h/2). Per il rettangolo e ≥ h/6, e coincide con il valore trovato nella tavola 05

La legge e · y0 = −ρx² ha una forma geometrica generale: il centro di pressione C e l’asse neutro n si corrispondono rispetto all’ellisse centrale d’inerzia.

L’ellisse centrale d’inerzia è l’ellisse con il centro in G e gli assi lungo gli assi principali, con semiassi pari ai raggi d’inerzia: ρy = √(Iy/A) lungo x e ρx = √(Ix/A) lungo y. Si noti il cambio di indice: Ix = ∫y² dA misura la dispersione dell’area in direzione y, quindi ρx si porta lungo y. Per il rettangolo b × h è ρy = b/√12 e ρx = h/√12.

Se C ha coordinate (xc, yc), l’asse neutro ha equazione:

Per C sull’asse y (xc = 0, yc = e) si ritrova y = −ρx²/e. La formula vale anche per C fuori dagli assi (pressoflessione deviata). La relazione si chiama antipolarità rispetto all’ellisse: n è la polare di C rispetto all’ellisse, ribaltata dal lato opposto di G.

• Se C si sposta lungo una retta, n ruota attorno a un punto fisso, che è l’antipolo di quella retta
• Se n ruota attorno a un punto P, C si sposta lungo una retta: l’antipolare di P. È la proprietà che serve per costruire il nocciolo (tavola 08)
• Dipende solo dalla geometria: la relazione tra C e n non contiene N né M, ma solo gli assi e i raggi d’inerzia della sezione

Il nocciolo centrale d’inerzia è la regione della sezione, attorno a G, entro cui può cadere il centro di pressione C senza che la sezione si tenda.

Se C è nel nocciolo, l’asse neutro cade fuori dalla sezione (oppure la tocca) e la tensione ha lo stesso segno in tutta la sezione: tutta compressa. Se C è fuori dal nocciolo, n taglia la sezione e una parte è tesa.

La costruzione segue la definizione. Si considerano tutte le posizioni limite dell’asse neutro, cioè le rette tangenti alla sezione, e per ciascuna si cerca con l’antipolarità il punto C corrispondente. L’insieme dei punti C forma il contorno del nocciolo.

• Lato → vertice: un asse neutro tangente a un lato rettilineo corrisponde a un punto C, vertice del nocciolo, sull’asse principale dal lato opposto: a distanza ρ²/d da G, con d distanza del lato da G
• Vertice → lato: un asse neutro che ruota attorno a un vertice P della sezione ha C che percorre una retta, lato del nocciolo, che unisce i vertici corrispondenti ai due lati adiacenti a P
• Sezioni non convesse (T, L, I): per il nocciolo contano solo i punti del contorno estremo (l’inviluppo convesso): le rientranze non cambiano nulla, perché n tangente alla sezione tocca sempre l’inviluppo
• Il nocciolo è convesso, contiene G e dipende solo dalla geometria: non cambia con N né con M. È una proprietà della sezione, come l’area o il momento d’inerzia

Per il rettangolo b × h il nocciolo è una losanga con i vertici sugli assi principali, a h/6 e b/6 dal baricentro.

Dalla regola generale: sull’asse y il semiasse vale ρx²/(h/2) = (h²/12)/(h/2) = h/6; sull’asse x vale ρy²/(b/2) = (b²/12)/(b/2) = b/6. I lati della losanga uniscono questi quattro vertici, perché sono gli antipolari dei vertici del rettangolo (tavola 08).

• Terzo medio: sull’asse y, C deve cadere nel terzo medio dell’altezza (la parte centrale lunga h/3). È la “regola del terzo medio” della tradizione del costruire
• Area del nocciolo: (h/3)·(b/3)/2 = b·h/18 = A/18, circa il 5,6% della sezione. È una zona molto piccola: bastano eccentricità modeste per uscirne
• Non è un rettangolo: con C fuori dagli assi, per esempio sulla diagonale, serve restare dentro la losanga. Il punto (b/6, h/6) è già fuori: la sua tensione al vertice opposto è positiva
• Verifica di un caso: con C = (b/6, 0) l’asse neutro ha equazione 2x/b = −1, cioè x = −b/2, proprio il lato sinistro del rettangolo. Con C dentro il nocciolo n è sempre fuori dalla sezione (o tangente)

Il metodo è sempre lo stesso: la semiestensione sull’asse vale ρ² / (distanza del lembo opposto) = W/A.

• Cerchio: ρ² = I/A = (π·d⁴/64)/(π·d²/4) = d²/16, e ymax = d/2, quindi la semiestensione è (d²/16)/(d/2) = d/8. Per simmetria il nocciolo è un cerchio di diametro d/4
• Corona circolare: I/A = (R² + r²)/4, quindi la semiestensione è (R² + r²)/(4R). Più la corona è sottile e più il nocciolo si avvicina a R/2: un tubo sottile ha un nocciolo grande rispetto al pieno (R/4)
• Doppio T: l’inviluppo convesso è il rettangolo b × h dell’ala e dell’anima. Le semidiagonali sono Wx/A lungo y e Wy/A lungo x. Per un IPE 200 con A ≈ 28,5 cm², Wx ≈ 194 cm³ e Wy ≈ 28,5 cm³ (valori indicativi di tabella, da verificare sul profilario) si ottiene Wx/A ≈ 6,8 cm lungo y e Wy/A ≈ 1,0 cm lungo x
• Che cosa si nota: per il doppio T il nocciolo è molto allungato lungo y (6,8 cm, contro h/6 = 3,3 cm del rettangolo pieno) e molto stretto lungo x (1,0 cm contro b/6 = 1,7 cm). I profili aperti sono efficienti a flessione ma poco tolleranti alle eccentricità in direzione dell’asse debole

Se C è fuori dal nocciolo, la formula elastica darebbe trazione. Per i materiali che non resistono a trazione la parte tesa non lavora e il diagramma si ridistribuisce.

Per la muratura e il calcestruzzo non armato si ammette che la zona tesa sia fessurata e quindi inattiva (sezione parzializzata). La parte compressa resta in equilibrio con N: il diagramma è un triangolo con vertice sull’asse neutro, e la risultante delle compressioni deve passare per C.

Per il rettangolo la risultante del triangolo passa a un terzo della base dal lato più caricato, quindi la base misura 3u con u = h/2 − e. L’equilibrio alla traslazione, N = ½·σmax·b·3u, dà:

• Asse neutro: a distanza 3u dal lembo compresso. Se e = h/6 è u = h/3 e 3u = h: la zona compressa è tutta la sezione, ed è il caso di transizione
• Più e cresce, più u diminuisce: con e → h/2 (N sul bordo) è u → 0 e σmax → ∞. L’eccentricità limite è sempre minore di h/2, con un margine di sicurezza
• Rapporto con il caso elastico: con e ≤ h/6 si usa σ = −(N/A)(1 ± 6e/h). Con e > h/6, per i materiali non reagenti, si usa σmax = 2N/(3bu)

Pilastro con sezione 30 × 50 cm, N = 300 kN di compressione. Due eccentricità: una dentro il nocciolo, una fuori.

• Passo 1 — Geometria. A = 300 × 500 = 150 000 mm²; W = b·h²/6 = 12,5 × 10⁶ mm³; ρx² = h²/12 = 20 833 mm². Nocciolo: semidiagonale lungo y h/6 = 83,3 mm, lungo x b/6 = 50 mm
• Passo 2 — Tensione media. N/A = 300 000 / 150 000 = 2,00 MPa (compressione)
• Passo 3 — Caso A (e = 60 mm). M = N·e = 18 kN·m; M/W = 18 × 10⁶ / 12,5 × 10⁶ = 1,44 MPa. Lato di C: σ = −2,00 − 1,44 = −3,44 MPa; lato opposto: σ = −2,00 + 1,44 = −0,56 MPa. Tutta compressione
• Passo 4 — Controllo del caso A. e = 60 mm < h/6 = 83,3 mm: C è dentro il nocciolo. L’asse neutro è a y0 = h²/(12e) = 250 000 / 720 = 347,2 mm da G, oltre il lembo (h/2 = 250 mm): fuori dalla sezione, in accordo con i segni
• Passo 5 — Caso B (e = 120 mm), sezione reagente. M = 36 kN·m; M/W = 2,88 MPa. Lato di C: σ = −2,00 − 2,88 = −4,88 MPa; lato opposto: σ = −2,00 + 2,88 = +0,88 MPa (trazione). Controllo: e = 120 mm > 83,3 mm: C è fuori dal nocciolo. Asse neutro a y0 = 250 000 / 1440 = 173,6 mm da G, dentro la sezione
• Passo 6 — Caso B, sezione non reagente a trazione. u = h/2 − e = 250 − 120 = 130 mm; la zona compressa ha base 3u = 390 mm (su 500); σmax = 2N/(3·b·u) = 2 × 300 000 / (3 × 300 × 130) = 5,13 MPa. L’asse neutro è a 390 mm dal lembo compresso, cioè a 110 mm dal lembo opposto, che resta fuori dal diagramma
• Passo 7 — Confronto. Passando da e = 60 a e = 120 mm (doppia) la σmax cresce da 3,44 a 4,88 MPa nel calcolo elastico (+42%) e fino a 5,13 MPa se la sezione non resiste a trazione (+49%). La trazione elastica di 0,88 MPa non può essere assorbita dal calcestruzzo non armato: la sezione si fessura

Quattro problemi per verificare la comprensione degli argomenti della lezione. Dati inventati a scopo didattico.

• La pressoflessione retta è la compressione con N applicata in un centro di pressione C sull’asse principale, a distanza e dal baricentro. È equivalente a N in G più il momento M = N·e
• Con la sovrapposizione degli effetti: σ = −N/A − N·e·y/Ix = −(N/A)·(1 + e·y/ρx²), con trazione positiva e y positiva verso il lato di C
• Per il rettangolo ai lembi: σ = −(N/A)·(1 ± 6e/h); il valore medio è sempre N/A
• Asse neutro: y0 = −ρx²/e, retta parallela a x dal lato opposto a C; e·|y0| = ρx² (iperbole)
• Ellisse centrale d’inerzia con semiassi ρy (lungo x) e ρx (lungo y): C e n si corrispondono per antipolarità, con xc·x/ρy² + yc·y/ρx² = −1
• Il nocciolo centrale d’inerzia è la regione dei punti C per cui n è fuori dalla sezione (o tangente): tutta la sezione è compressa. Dipende solo dalla geometria
• Rettangolo: losanga con semidiagonali h/6 e b/6, area A/18. Cerchio: raggio d/8. Corona: (R² + r²)/(4R). Doppio T: Wx/A e Wy/A
• Con C fuori dal nocciolo compare trazione. Se il materiale non resiste a trazione (rettangolo): σmax = 2N/(3·b·u) con u = h/2 − e, n a 3u dal lembo compresso
• Al limite del nocciolo (e = ρ²/ymax) la tensione è nulla da un lato e vale 2N/A dall’altro