Tensioni Composte

1.2 G4 — PCI, classe terza CAT

Tensioni Composte

Quando sforzo normale e momento flettente agiscono insieme: pressoflessione, nòcciolo centrale d’inerzia e sezioni non reagenti a trazione.

Materia — Progettazione, Costruzione e Impianti Indirizzo — CAT, Costruzioni Ambiente e Territorio Durata — 2 ore

Dalle tensioni singole alle tensioni composte

In G2 abbiamo calcolato σ dovuta a N da sola, poi σ dovuta a M da sola. In G3, τ dovuta a V e a M_t, verificate separatamente perché fisicamente diverse da σ. Ma cosa succede quando N e M — due sollecitazioni che generano lo stesso tipo di tensione — agiscono insieme sulla stessa sezione?

È il caso più comune nella pratica reale: pilastri con carico non centrato, murature portanti, plinti di fondazione, muri di sostegno… raramente una sezione reale è soggetta a un solo tipo di sollecitazione isolata.

Il fenomeno si chiama pressoflessione (o tensoflessione, se N è di trazione): le tensioni composte generate da N e M insieme sono l’oggetto di questa tavola.

Sforzo normale e momento flettente: la sovrapposizione degli effetti

Poiché N e M generano entrambi lo stesso tipo di tensione (σ, normale alla sezione), vale il principio di sovrapposizione degli effetti (già incontrato in F1 e in G2 per la flessione deviata): la tensione totale in un punto è la somma algebrica delle tensioni prodotte da N e da M separatamente.

σ = σ_N + σ_M = N/A + M·y/I

A differenza della combinazione N/V/M vista in G3 — dove σ e τ restano grandezze distinte, verificate nei rispettivi punti di massimo — qui N e M producono la stessa grandezza fisica, nello stesso punto: si sommano direttamente, senza bisogno di criteri di resistenza combinati. Si parla di pressoflessione retta quando il piano di M coincide con un asse principale d’inerzia, esattamente come nella flessione retta di G2.

Pressoflessione retta: la sezione generica

Per una sezione di forma qualsiasi, la tensione nel generico punto a distanza y dal baricentro vale:

σ(y) = N/A ± M·y/I

Il primo termine, N/A, è costante su tutta la sezione (diagramma rettangolare, G2 tavola 05). Il secondo, M·y/I, è lineare, nullo sull’asse baricentrico e massimo ai lembi (diagramma triangolare, G2 tavola 06).

Geometricamente, sommare un rettangolo e un triangolo dà sempre un trapezio: il diagramma resta lineare (retta), ma trasla — non passa più per zero nel baricentro. Se le due tensioni hanno segno concorde su tutta la sezione il trapezio è “pieno”; se il segno si inverte, una parte del trapezio cade sotto lo zero.

L’asse neutro nella pressoflessione e il concetto di eccentricità

A differenza della flessione semplice, l’asse neutro (dove σ = 0) non passa più per il baricentro G, a meno che M non sia nullo. È spesso più comodo descrivere la coppia (N, M) in un altro modo, del tutto equivalente:

e = M / N

L’eccentricità e è la distanza a cui si dovrebbe applicare N da sola, fuori dal baricentro, per produrre lo stesso momento M. Il punto di applicazione risultante si chiama centro di pressione C — esattamente i punti G e C che vedi nel diagramma di apertura.

Le due descrizioni sono equivalenti: “N applicata in G, più M” oppure “N applicata eccentricamente in C, a distanza e da G”. È la seconda a essere usata nella pratica corrente — per esempio nella verifica dei plinti di fondazione, dove è naturale ragionare in termini di dove “cade” il carico.

Pressoflessione retta: la sezione rettangolare

Per la sezione rettangolare (base b, altezza h), richiamando da G2 A = bh e W = bh²/6, e sostituendo M = N·e nella formula generale valutata ai lembi (y = h/2):

σ = N/A · (1 ± 6e/h)

dove h è la dimensione della sezione nella direzione in cui agisce l’eccentricità. Il segno + vale sul lembo dalla stessa parte del centro di pressione C, il segno − sul lembo opposto.

Esempio: pressoflessione su una sezione rettangolare

Una sezione rettangolare 25 × 45 cm, capace di resistere sia a compressione sia a trazione, è compressa da uno sforzo normale N = 500 kN, con eccentricità e lungo il lato di 45 cm. Si ha N/A = 500 000 / (250 · 450) ≈ 4,44 N/mm².

e = 0: σ = 4,44 N/mm² (uniforme — sforzo normale semplice, come in G2)

e = 5 cm: σ_max = 4,44·(1 + 0,667) ≈ 7,4 N/mm² · σ_min = 4,44·(1 − 0,667) ≈ 1,5 N/mm²

Con e = 5 cm l’intera sezione resta compressa: nessun punto cambia segno. Vedremo nella prossima tavola che questo non è un caso, ma dipende da quanto e è piccola rispetto alle dimensioni della sezione.

Piccola e grande eccentricità

Aumentando e, il termine 6e/h cresce: σ_max aumenta e σ_min diminuisce, fino ad annullarsi e poi diventare negativo (cioè di segno opposto a σ_max — trazione, se N è di compressione).

Piccola eccentricità

σ_min ≥ 0: l’intera sezione mantiene lo stesso segno di tensione, come nell’esempio della tavola 06.

Grande eccentricità

σ_min < 0: il segno si inverte, e una parte della sezione va in trazione.

Caso limite

σ_min = 0: l’asse neutro passa esattamente per il lembo della sezione.

Il valore soglia che separa i due comportamenti è un’eccentricità limite, caratteristica della forma della sezione — la dimostriamo nella prossima tavola introducendo il nòcciolo centrale d’inerzia.

Il nòcciolo centrale d’inerzia

Il nòcciolo centrale d’inerzia di una sezione è la regione, attorno al baricentro G, entro cui deve cadere il centro di pressione C affinché l’intera sezione mantenga lo stesso segno di tensione (piccola eccentricità).

Imponendo σ = 0 nel punto più lontano dal baricentro, dalla parte opposta a C (distanza y), si trova l’eccentricità limite:

e_lim = I / (A·y) = i² / y

dove i è il raggio d’inerzia (i² = I/A, già incontrato in E2). Finché e ≤ e_lim, C resta dentro il nòcciolo e la sezione lavora tutta in un solo segno.

Il nòcciolo della sezione rettangolare: la regola del terzo medio

Per la sezione rettangolare, con I = bh³/12, A = bh e y = h/2, il raggio d’inerzia al quadrato vale i² = h²/12, e quindi:

e_lim = (h²/12) / (h/2) = h/6

Lo stesso ragionamento sull’altro asse dà e_lim = b/6. Il nòcciolo di una sezione rettangolare è quindi un rombo con diagonali h/3 e b/3, centrato nel baricentro — la celebre regola del terzo medio: finché C cade nel terzo medio della sezione (lungo l’asse considerato), l’intera sezione resta in un solo segno di tensione.

Esempio: eccentricità dentro e fuori dal nòcciolo

Riprendendo l’esempio della tavola 06 (25 × 45 cm, N = 500 kN, N/A ≈ 4,44 N/mm²): con h = 45 cm, il nòcciolo si estende fino a h/6 = 7,5 cm.

e = 7,5 cm (= h/6): σ_max ≈ 8,9 N/mm² · σ_min = 0 N/mm²

e = 12 cm (> h/6): σ_max ≈ 11,5 N/mm² · σ_min ≈ −2,7 N/mm² (trazione)

Con e = 7,5 cm, C cade esattamente sul bordo del nòcciolo: σ_min si annulla ma non cambia segno. Con e = 12 cm, C è uscito dal nòcciolo: compare trazione in una parte della sezione. Da qui l’utilità pratica del nòcciolo — sapere subito, senza ricostruire l’intero diagramma, se una certa eccentricità produce o no inversione di segno.

Perché il nòcciolo centrale d’inerzia è importante: conclusioni

Per un materiale capace di resistere sia a compressione sia a trazione (acciaio, legno, calcestruzzo armato), l’inversione di segno oltre il nòcciolo non è di per sé un problema: basta verificare che entrambe le tensioni, di compressione e di trazione, restino sotto i rispettivi limiti ammissibili — come negli esempi della tavola 10.

Il nòcciolo diventa invece decisivo per i materiali incapaci di resistere a trazione — muratura, calcestruzzo non armato, terreno di fondazione: se il centro di pressione cade fuori dal nòcciolo, la formula di Navier prevede trazione dove il materiale semplicemente non può fornirla. È il caso trattato nelle prossime tavole.

Sezioni non reagenti a trazione

Muratura, calcestruzzo non armato e terreno di fondazione hanno una resistenza a trazione trascurabile o nulla. Se il calcolo elastico (Navier più sovrapposizione) prevede trazione in una parte della sezione, il materiale semplicemente si fessura o si distacca lì, anziché tirare: la sezione reagisce solo sulla parte rimasta compressa.

La formula di Navier, valida solo se l’intera sezione partecipa sia in trazione sia in compressione, non è più applicabile così com’è: bisogna individuare la parte di sezione effettivamente reagente e ridistribuire N solo su di essa.

Non è un fenomeno “diverso”: è lo stesso principio della flessione, applicato a un dominio — l’area reagente — che non è più tutta la sezione, ma solo la sua parte compressa.

La sezione rettangolare non reagente a trazione

Per una sezione rettangolare con e > h/6, la zona compressa diventa un triangolo, con tensione nulla dove il materiale si è staccato e massima sul lembo compresso. Per l’equilibrio, la risultante di questo triangolo di tensioni deve cadere esattamente sotto il centro di pressione C — e il baricentro di un triangolo è a un terzo della sua base (E1).

u = h/2 − e

lunghezza reagente = 3u

σ_max = 2N / (3ub)

Il momento statico e il baricentro di E1 tornano ancora utili: è proprio la proprietà del baricentro del triangolo — a un terzo della base dal lembo — a fissare la lunghezza reagente in 3u.

Esempio: un muro di sostegno a gradoni

Un muro di sostegno a gradoni, in calcestruzzo non armato (peso di volume γ = 24 kN/m³), va verificato alla base: una sezione rettangolare 100 × 180 cm, soggetta al peso proprio dei tre gradoni (P₁ = 15,84 kN, P₂ = 31,68 kN, P₃ = 47,52 kN) e alle spinte orizzontali di una forza F = 12 kN in sommità e della spinta del terreno S = 22 kN.

Sommando i pesi si ha N = P₁ + P₂ + P₃ = 95,04 kN, e sommando i momenti di tutte le forze rispetto al baricentro della base, M ≈ 34,4 kN·m. L’eccentricità risultante:

e = M/N = 3440/95,04 ≈ 36,2 cm

Con h = 180 cm, il nòcciolo si estende fino a h/6 = 30 cm: essendo e = 36,2 cm > 30 cm, il centro di pressione cade fuori dal nòcciolo — il contatto muro-terreno non può reagire a trazione, quindi:

u = 90 − 36,2 = 53,8 cm · σ_max = 2·95 040 / (3·538·1000) ≈ 0,12 N/mm²

È un caso tipico della pratica: i muri di sostegno a gravità — e le fondazioni in genere — sono quasi sempre verificati come sezioni non reagenti a trazione, perché il contatto muro-terreno (o muro-calcestruzzo magro) non può in alcun modo trasmettere trazione.

Il caso limite: l’appoggio di una trave

Una trave, semplicemente appoggiata su un muro in muratura, scarica su di esso un peso P = 12 kN, su una superficie di contatto di 15 × 20 cm. Qui il carico è applicato esattamente al bordo della superficie visibile: l’intera zona di contatto è già, per sua natura, la zona reagente, e la distribuzione delle tensioni è triangolare — massima dove inizia l’appoggio, nulla dove finisce la trave.

σ_max = 2N/A = 2·12 000 / (150·200) ≈ 0,8 N/mm²

È lo stesso principio della tavola 13, portato al caso limite in cui la superficie “reagente” coincide interamente con la superficie di contatto visibile — utile per verificare rapidamente gli appoggi di travi su muratura, senza ricorrere alla formula generale.

Autovalutazione

Quattro problemi per mettere alla prova le formule di questa tavola.

Problema	Dati	Risultato
1. Sezione reagente a trazione	30 × 50 cm, N = 300 kN, e = 6 cm (lungo il lato 50 cm)	σ_max ≈ 3,44 N/mm², σ_min ≈ 0,56 N/mm² (tavola 05 — e < h/6 = 8,3 cm, dentro il nòcciolo)
2. Stessa sezione, grande eccentricità	30 × 50 cm, N = 300 kN, e = 15 cm	σ_max ≈ 6,7 N/mm² (tavola 13 — e > h/6, sezione non reagente a trazione)
3. Nòcciolo di una sezione circolare	D = 40 cm, N = 150 kN, e = 4 cm	e_lim = D/8 = 5 cm > 4 cm: C dentro il nòcciolo (tavola 08)
4. Appoggio di trave	Superficie di contatto 20 × 20 cm, P = 20 kN al bordo	σ_max = 2N/A ≈ 1,0 N/mm² (tavola 15)

Il problema 3 generalizza il concetto di nòcciolo oltre la sezione rettangolare: applicando la formula e_lim = i²/y a una sezione circolare (i² = D²/16, y = D/2) si trova che il suo nòcciolo è un cerchio di raggio D/8 — un quarto del raggio della sezione.

Riepilogo dei concetti chiave

Pressoflessione: N e M agenti insieme generano σ che si sovrappone linearmente, σ = N/A ± M·y/I
Eccentricità e = M/N: distanza del centro di pressione C dal baricentro G, equivalente a un’unica N applicata fuori asse
Sezione rettangolare: σ = N/A·(1 ± 6e/h)
Piccola eccentricità: l’intera sezione mantiene lo stesso segno di tensione; grande eccentricità: il segno si inverte
Nòcciolo centrale d’inerzia: e_lim = I/(A·y) = i²/y, regione entro cui C non produce inversione di segno
Nòcciolo della sezione rettangolare: e ≤ h/6 e b/6 sui due assi — la regola del terzo medio
Sezioni non reagenti a trazione (muratura, cls non armato, terreno): se e > h/6, la sezione reagisce solo sulla parte compressa
Sezione rettangolare non reagente: lunghezza reagente = 3u, con u = h/2 − e; σ_max = 2N/(3ub)
Caso limite dell’appoggio di una trave (u → 0, tutta la superficie di contatto è reagente): σ_max = 2N/A